Determinar o valor de cada limite expresso abaixo:
\lim _{x \longrightarrow \infty}\left(x+\sqrt[3]{1-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(x+\sqrt[3]{1-x^3}\bigr).
É uma indeterminação do tipo \infty-\infty, então vamos reescrever a raiz cúbica para fatorar o termo que cresce e depois usar expansão assintótica.

Passo 2

Note que
\sqrt[3]{1-x^3} =\sqrt[3]{-x^3\bigl(1-\tfrac1{x^3}\bigr)} =-x\,\sqrt[3]{1-\tfrac1{x^3}}.
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x+\sqrt[3]{1-x^3} =x - x\sqrt[3]{1-\tfrac1{x^3}} = x\Bigl[1 - \bigl(1-\tfrac1{x^3}\bigr)^{\!1/3}\Bigr].

Passo 3

Para x\to\infty temos t=\tfrac1{x^3}\to0 e a expansão de Taylor
(1-t)^{1/3}=1-\frac{t}{3}+o(t).
Substituindo t=1/x^3:
1-\bigl(1-\tfrac1{x^3}\bigr)^{\!1/3} =1-\Bigl(1-\frac{1}{3x^3}+o(\tfrac1{x^3})\Bigr) =\frac{1}{3x^3}+o(\tfrac1{x^3}).
Multiplicando por x:
x\Bigl[1 - (1-\tfrac1{x^3})^{1/3}\Bigr] =\frac{1}{3x^2}+o(\tfrac1{x^2}).

Passo 4

Como \tfrac1{3x^2}\to0 quando x\to\infty, concluímos que
\lim_{x\to\infty}\Bigl(x+\sqrt[3]{1-x^3}\Bigr)=0.

Resposta

0

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