Determinar o valor de cada limite expresso abaixo:
\lim _{x \longrightarrow 0}(\cos 2 x)^{\frac{3}{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}(\cos2x)^{\frac{3}{x^2}}.
O conteúdo aqui é limites de forma exponencial do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar a estratégia de tomar o logaritmo, transformar em exponencial e empregar a expansão de Taylor de \cos.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0}(\cos2x)^{\frac{3}{x^2}}.
Como a expressão é positiva perto de x=0, podemos escrever
\ln L = \lim_{x\to0} \frac{3}{x^2}\,\ln\bigl(\cos2x\bigr).

Passo 3

Para calcular \ln(\cos2x) quando x é pequeno, usamos a expansão de Taylor
\cos y = 1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\quad\text{quando }y\to0.
Aqui y=2x, logo
\cos2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + o(x^2) = 1 - 2x^2 + o(x^2).
Aplicando \ln(1+u)\approx u para u\to0, obtemos
\ln\bigl(\cos2x\bigr) = \ln\bigl(1 - 2x^2 + o(x^2)\bigr) = -2x^2 + o(x^2).

Passo 4

Substituindo na expressão de \ln L, temos
\ln L = \lim_{x\to0} \frac{3}{x^2}\bigl(-2x^2 + o(x^2)\bigr) = \lim_{x\to0} \bigl(-6 + o(1)\bigr) = -6.
Portanto
L = e^{\ln L} = e^{-6}.

Resposta

e^{-6}

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