Achar o limite de cada ítem abaixo:
\lim _{x \longrightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\displaystyle \lim_{x\to1}\Bigl(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\Bigr).
Esse é um limite do tipo “ \infty-\infty”, pois \frac{x}{x-1} e \frac{1}{\ln x} divergem quando x\to1. Para resolver, vamos usar expansão em série (Taylor) de \ln x em torno de x=1.

Passo 2

Definimos
\displaystyle h = x-1,
de modo que x = 1 + h e h\to0 quando x\to1.
Então
\displaystyle \frac{x}{x-1} = \frac{1+h}{h} = \frac1h + 1,
e
\displaystyle \ln x = \ln(1+h).

Passo 3

A série de Taylor de \ln(1+h) para h pequeno é
\ln(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + O(h^3).
Logo
\frac{1}{\ln x} = \frac{1}{h - \tfrac{h^2}{2} + O(h^3)} = \frac{1}{h}\;\frac{1}{1 - \tfrac h2 + O(h^2)} = \frac{1}{h}\Bigl(1 + \tfrac h2 + O(h^2)\Bigr) = \frac1h + \tfrac12 + O(h).

Passo 4

Substituindo as duas expansões em h:
\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x} =\Bigl(\frac1h + 1\Bigr) -\Bigl(\frac1h + \tfrac12 + O(h)\Bigr) = 1 - \tfrac12 + O(h) = \tfrac12 + O(h).
Como h\to0, o resto O(h) some, e o limite vale
\tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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