Construa um esboço gráfico da função dada pela lei:
f(x)=2 x+2-3 \sqrt[3]{(x-4)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=2x+2 \;-\;3\sqrt[3]{(x-4)^{2}}.
O conteúdo envolvido é análise de funções definidas com raiz cúbica de potência, estudo de domínio, continuidade, derivada (monotonia e extremos) e comportamento assintótico para esboçar o gráfico.

Passo 2

Reescrevemos a parte não-linear como módulo fracionário. Note que
\sqrt[3]{(x-4)^{2}} =\bigl((x-4)^{2}\bigr)^{\frac13} =\lvert x-4\rvert^{\frac23}.
Logo
f(x)=2x+2 \;-\;3\,\lvert x-4\rvert^{\tfrac23}.
O domínio é \mathbb{R} e a função é contínua em todo \mathbb{R}, mas tem cusp (ponto de canto) em x=4.

Passo 3

Calculamos a derivada em x\neq4. Usando a forma f(x)=2x+2-3u(x) com u(x)=((x-4)^2)^{1/3}, tem-se
u'(x) =\frac{2}{3}\,(x-4)^{-1/3},
então
f'(x) =2 \;-\;3\,u'(x) =2 \;-\;2\,(x-4)^{-1/3}.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x):
– Para x<4, x-4<0 implica (x-4)^{-1/3}<0, logo -2\,(x-4)^{-1/3}>0 e f'(x)>0.
– Para x>4, (x-4)^{-1/3}>0 e f'(x) muda de negativo (quando 4<x<5) para positivo (quando x>5), pois a equação f'(x)=0
2-2\,(x-4)^{-1/3}=0 \;\Longrightarrow\; (x-4)^{-1/3}=1 \;\Longrightarrow\; x-4=1 \;\Longrightarrow\; x=5.

Passo 5

Classificação dos pontos especiais:
  • Em x=4: \lvert x-4\rvert^{2/3}=0, então f(4)=2\cdot4+2-3\cdot0=10.É cusp, com derivada não definida, pois f'\to+\infty pela esquerda e f'\to-\infty pela direita. É um máximo local.
  • Em x=5: substituindo em f, f(5)=2\cdot5+2-3\cdot1=12-3=9,e f'(x) troca de sinal de negativo para positivo, logo é mínimo local.

Passo 6

Comportamento para x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}(2x+2)-3\,O(\lvert x\rvert^{2/3})= \pm\infty,
pois o termo linear domina o termo de ordem x^{2/3}.

Passo 7

Resumo dos pontos chave para o esboço:
  • Monótona crescente em (-\infty,4), atinge cusp em (4,10) (máximo local).
  • Monótona decrescente em (4,5), atinge mínimo local em (5,9).
  • Monótona crescente em (5,\infty), tende a +\infty.
  • Interseção com eixo y: f(0)=2-3\sqrt[3]{16}\approx2-3\cdot2,52\approx-5{,}56.

Resposta

Segue o esboço qualitativo do gráfico de f:
y | \bullet \text{ cusp em } (4,10) | /\\ | / \\\ | / \\ \text{ crescente para } x>5 | / \\\ | / \\\\ 10+\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet/ \\\ | / \\\ | / \bullet \text{ mínimo em } (5,9) | / | / 0+----\bullet/--------------------------- x | / | / \text{ crescente em } (-\infty,4) | / -10+\bullet/ |í
Onde:
\bullet Em x=4, ponto de cusp em f(4)=10.
\bullet Em x=5, mínimo local em f(5)=9.
\bullet A rama à esquerda cresce suavemente, e à direita tem um “vale” entre 4 e 5, voltando a subir depois de 5.

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