Construa um esboço gráfico da função dada pela lei:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido é análise de funções definidas com raiz cúbica de potência, estudo de domínio, continuidade, derivada (monotonia e extremos) e comportamento assintótico para esboçar o gráfico.
Passo 2
Reescrevemos a parte não-linear como módulo fracionário. Note que
Logo
O domínio é
e a função é contínua em todo
, mas tem cusp (ponto de canto) em
.
Passo 3
Calculamos a derivada em
. Usando a forma
com
, tem-se
então
Passo 4
Analisamos o sinal de
:
– Para ,
implica
, logo
e
.
– Para ,
e
muda de negativo (quando
) para positivo (quando
), pois a equação
dá
– Para
– Para
Passo 5
Classificação dos pontos especiais:
- Em
: , então É cusp, com derivada não definida, pois pela esquerda e pela direita. É um máximo local. - Em
: substituindo em , e troca de sinal de negativo para positivo, logo é mínimo local.
Passo 6
Comportamento para
:
pois o termo linear domina o termo de ordem
.
Passo 7
Resumo dos pontos chave para o esboço:
- Monótona crescente em
, atinge cusp em (máximo local). - Monótona decrescente em
, atinge mínimo local em . - Monótona crescente em
, tende a . - Interseção com eixo
: .
Resposta
Segue o esboço qualitativo do gráfico de
:
Onde:
Em
, ponto de cusp em
.
Em
, mínimo local em
.
A rama à esquerda cresce suavemente, e à direita tem um “vale” entre
e
, voltando a subir depois de
.