Achar o limite de cada ítem abaixo:
\lim _{x \longrightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{cosh} x-1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
L = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{cosh} x - 1}{x^2}.
O conteúdo principal aqui é limite envolvendo função hiperbólica; vamos usar a expansão em série de Taylor de \operatorname{cosh} x em torno de x=0.

Passo 2

A série de Taylor de \operatorname{cosh} x em torno de zero é
\operatorname{cosh} x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por x^2, obtemos
\frac{\operatorname{cosh} x - 1}{x^2} = \frac{1 + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots - 1}{x^2} = \frac{x^2}{2! \,x^2} + \frac{x^4}{4! \,x^2} + \cdots = \frac{1}{2} + \frac{x^2}{24} + \cdots.

Passo 3

Ao fazermos x \to 0, os termos que contêm x desaparecem, e sobra
L = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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