Construa um esboço gráfico da função dada pela lei:
f(x)=\frac{8}{x \sqrt{x^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico de
f(x)=\frac{8}{x\sqrt{x^2-4}}.
O conteúdo envolvido é análise de função: domínio, assíntotas, paridade, comportamento em fins de intervalo e monotonicidade. Vamos usar essas informações para construir o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio: para existir \sqrt{x^2-4} precisamos de
x^2-4>0\quad\Longrightarrow\quad|x|>2,
e também x\neq0, mas isso já está implícito em |x|>2.
Logo o domínio é
(-\infty,-2)\\ \cup\\ (2,\infty).

Passo 3

Encontrar assíntotas verticais: nos pontos onde o denominador some, isto é, em x=\pm2. Assim
\text{assíntotas verticais: }x=-2\quad\text{e}\quad x=2.í

Passo 4

Encontrar assíntota horizontal: quando x\to\pm\infty, temos \sqrt{x^2-4}\sim|x|, então
f(x)=\frac{8}{x\sqrt{x^2-4}}\sim\frac{8}{x\cdot|x|}=\frac{8}{x^2}\to0.
Portanto há assíntota horizontal em
y=0.

Passo 5

Verificar paridade: para x\neq0,
f(-x)=\frac{8}{(-x)\sqrt{(-x)^2-4}} =\frac{8}{-x\sqrt{x^2-4}} =-\frac{8}{x\sqrt{x^2-4}} =-f(x).
Logo f é ímpar, e o ramo em (-\infty,-2) é simétrico ao de (2,\infty) em relação à origem.

Passo 6

Analisar sinais e comportamento:
  • Em (2,\infty), x>2 e \sqrt{x^2-4}>0, então f(x)>0.
  • Ao aproximar x\to2^+, \sqrt{x^2-4}\to0^+ e f(x)\to+\infty.
  • Ao aproximar x\to+\infty, f(x)\to0^+.
    Cálculo de derivada em (2,\infty) mostra f'(x)<0, logo o ramo decresce de +\infty até 0.
    Pelo fato de f ser ímpar, em (-\infty,-2) temos f(x)<0, com f(x)\to0^- quando x\to-\infty e f(x)\to-\infty quando x\to-2^-, em um ramo crescente.

Passo 7

Construir o esboço reunindo:
  • Dois ramos separados pelos vetores x=\pm2.
  • Ramo direito ( x>2): parte positiva, cai de +\infty (em x=2^+) até 0 (em x\to+\infty), sempre decrescente.
  • Ramo esquerdo ( x<-2): parte negativa, simétrico ímpar, sobe de 0 (em x\to-\infty) até -\infty (em x=-2^-).
  • Assíntotas verticais em x=-2,2 e horizontal em y=0.

Resposta

O esboço apresenta
\bullet domínio (-\infty,-2)\cup(2,\infty),
\bullet assíntotas verticais x=-2 e x=2,
\bullet assíntota horizontal y=0,
\bullet ramo em (2,\infty): decrescente de +\infty a 0,
\bullet ramo em (-\infty,-2): simétrico ímpar, crescente de 0 a -\infty.

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