Escrever a equação da tangente e da normal à curva:
y^{4}=4 x^{4}+6 x y

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal à curva implícita
y^{4} \;=\; 4x^{4} \;+\; 6xy
Para isso precisamos de dois ingredientes:
  1. a derivada implícita \displaystyle \frac{dy}{dx} ao longo da curva,
  2. as fórmulas das retas tangente e normal num ponto genérico (x_{0},y_{0}) que satisfaça a equação da curva.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de y^{4}=4x^{4}+6xy em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia, e no direito a derivada de soma e produto:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{4}\bigr) \;=\; \frac{d}{dx}\bigl(4x^{4}\bigr) \;+\; \frac{d}{dx}\bigl(6xy\bigr).
Isso dá
4y^{3}\,\frac{dy}{dx} \;=\; 16x^{3} \;+\; 6\bigl(x\,\frac{dy}{dx}+y\cdot1\bigr).

Passo 3

Agora isolamos \displaystyle \frac{dy}{dx}. Reescrevendo:
4y^{3}\,\frac{dy}{dx} = 16x^{3} +6x\,\frac{dy}{dx} +6y.
Passamos o termo 6x\,\frac{dy}{dx} para o lado esquerdo:
4y^{3}\,\frac{dy}{dx}-6x\,\frac{dy}{dx} = 16x^{3}+6y \quad\Longrightarrow\quad \bigl(4y^{3}-6x\bigr)\frac{dy}{dx} = 16x^{3}+6y.
Logo
\frac{dy}{dx} = \frac{16x^{3}+6y}{4y^{3}-6x}.

Passo 4

A equação da reta tangente à curva no ponto (x_{0},y_{0}) (que satisfaz y_{0}^{4}=4x_{0}^{4}+6x_{0}y_{0}) é
y - y_{0} = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_{0},y_{0})} \,(x - x_{0}) \;=\; \frac{16x_{0}^{3}+6y_{0}}{4y_{0}^{3}-6x_{0}} \,(x - x_{0}).

Passo 5

A equação da reta normal, que tem coeficiente angular oposto e recíproco de \displaystyle \frac{dy}{dx}, é
y - y_{0} = -\frac{1}{\displaystyle \frac{16x_{0}^{3}+6y_{0}}{4y_{0}^{3}-6x_{0}}} \,(x - x_{0}) = -\frac{4y_{0}^{3}-6x_{0}}{16x_{0}^{3}+6y_{0}} \,(x - x_{0}).

Resposta

Equação da tangente em (x_{0},y_{0}):
y - y_{0} = \frac{16x_{0}^{3}+6y_{0}}{4y_{0}^{3}-6x_{0}} \,(x - x_{0}).
Equação da normal em (x_{0},y_{0}):
y - y_{0} = -\frac{4y_{0}^{3}-6x_{0}}{16x_{0}^{3}+6y_{0}} \,(x - x_{0}).

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