Determinar o valor de cada limite expresso abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{n} \sin \frac{a}{x}, \quad n>0, \quad a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to +\infty} x^{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{a}{x}\Bigr),
onde n>0 e a\neq 0.
O conteúdo principal é o comportamento de \sin(z) para z\to 0, pois quando x\to+\infty temos a/x\to 0. Vamos usar a aproximação
\sin(z)\sim z\quad(z\to 0),
ou então a troca de variável t=1/x.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = \frac{1}{x},
temos t\to 0^+ quando x\to +\infty, e
x^{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{a}{x}\Bigr) = \frac{\sin(a\,t)}{t^{n}}.

Passo 3

Para t\to 0, usamos a expansão de primeira ordem
\sin(a\,t)=a\,t+o(t).
Logo,
\frac{\sin(a\,t)}{t^{n}} =\frac{a\,t+o(t)}{t^{n}} =a\,t^{1-n} + o\bigl(t^{1-n}\bigr).

Passo 4

Agora analisamos o expoente 1-n:
  • Se n<1, então 1-n>0 e t^{1-n}\to 0. Portanto o limite é
    0.
  • Se n=1, então 1-n=0 e
    a\,t^{1-n}=a\quad\Longrightarrow\quad\lim = a.
  • Se n>1, então 1-n<0 e t^{1-n}\to +\infty. Como o coeficiente é a, o produto diverge para +\infty se a>0 e para -\infty se a<0.

Resposta

Para \lim_{x\to+\infty}x^{n}\sin\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr) com n>0 e a\neq 0 vale:
  • Se 0<n<1, o limite é 0.
  • Se n=1, o limite é a.
  • Se n>1, o limite diverge para +\infty quando a>0 e para -\infty quando a<0.

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