Isso é um limite de função de duas variáveis quando (x,y) “vai para o infinito”. Para resolver, vamos usar uma desigualdade (Cauchy-Schwarz) e o critério do aperto (squeeze theorem).
Passo 2
Primeiro, note que
|x+y|\le|x|+|y|.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz em \mathbb{R}^{2} temos
Quando x\to\infty e y\to\infty, temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to\infty, então
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\to0.
Passo 4
Pelo critério do aperto, a função \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} fica “apanhada” entre -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, ambos tendendo a zero. Logo o limite vale zero.