Achar os limites das funções:
\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\\ y \rightarrow \infty}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{\substack{x\to\infty\y\to\infty}}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}.
Isso é um limite de função de duas variáveis quando (x,y) “vai para o infinito”. Para resolver, vamos usar uma desigualdade (Cauchy-Schwarz) e o critério do aperto (squeeze theorem).

Passo 2

Primeiro, note que
|x+y|\le|x|+|y|.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz em \mathbb{R}^{2} temos
|x|+|y|\le\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Logo
\left|\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\right| \le\frac{|x|+|y|}{x^{2}+y^{2}} \le\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Quando x\to\infty e y\to\infty, temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to\infty, então
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\to0.

Passo 4

Pelo critério do aperto, a função \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} fica “apanhada” entre -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, ambos tendendo a zero. Logo o limite vale zero.

Resposta

0

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