Achar os limites das funções:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \operatorname{sen} \frac{1}{x y}

Passo 1

O enunciado pede o limite em várias variáveis
\lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\operatorname{sen}\frac{1}{xy}.
O conteúdo é cálculo de limite em \mathbb{R}^2 usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Vamos usar que \operatorname{sen} é limitado por -1 e 1, e que x^2+y^2\to 0 quando (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Como para todo (x,y)\neq(0,0) vale
-1\le \operatorname{sen}\frac{1}{xy}\le 1,
temos
-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\le\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\operatorname{sen}\frac{1}{xy}\le x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Observe que conforme (x,y)\to(0,0),
x^{2}+y^{2}\;\longrightarrow\;0.
Logo os dois limites das funções bounding vão a zero.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, o valor em comum do limite central também é zero.

Resposta

0

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