Demonstrar que
, se
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que
quando
O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas parciais em funções de várias variáveis e, em particular, a regra do quociente para derivadas.
Passo 2
Para organizar o cálculo, escrevemos
onde definimos
Note que ao derivar em relação a uma variável, as outras ficam constantes.
Passo 3
Cálculo de
.
Como e
não depende de
, temos
Como
Portanto,
Passo 4
Cálculo de
pela regra do quociente:
No numerador:
. Logo,
Passo 5
Cálculo de
. Aqui
é constante em
e
, com
, então
Logo
Passo 6
Somando as três derivadas:
Agrupando os termos de segundo grau:
Assim
Resposta
Portanto,