Demonstrar que \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=1, se
u=x+\frac{x-y}{y-z} .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=1
quando
u(x,y,z)=x+\frac{x-y}{y-z}.
O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas parciais em funções de várias variáveis e, em particular, a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Para organizar o cálculo, escrevemos
u(x,y,z)=x + \frac{N}{D},
onde definimos
N = x - y, \qquad D = y - z.
Note que ao derivar em relação a uma variável, as outras ficam constantes.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}.
Como \partial x/\partial x=1 e D não depende de x, temos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr) =\frac{1}{D}\,\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{1}{y-z}\cdot1 =\frac{1}{y-z}.
Portanto,
\frac{\partial u}{\partial x} =1 + \frac{1}{y-z}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} pela regra do quociente:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr) =\frac{D\;\frac{\partial N}{\partial y}-N\;\frac{\partial D}{\partial y}}{D^2} =\frac{(y-z)\,(-1)-(x-y)\,(1)}{(y-z)^2}.
No numerador: -(y-z)-(x-y)= -y+z -x+y = z - x. Logo,
\frac{\partial u}{\partial y} =0 + \frac{z - x}{(y-z)^2}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}. Aqui N=x-y é constante em z e D=y-z, com \partial D/\partial z=-1, então
\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr) =\frac{-N\,\frac{\partial D}{\partial z}}{D^2} =\frac{-(x-y)\,(-1)}{(y-z)^2} =\frac{x-y}{(y-z)^2}.
Logo
\frac{\partial u}{\partial z} =0 + \frac{x-y}{(y-z)^2}.

Passo 6

Somando as três derivadas:
\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial u}{\partial z} =\Bigl(1 + \frac{1}{y-z}\Bigr) +\frac{z-x}{(y-z)^2} +\frac{x-y}{(y-z)^2}.
Agrupando os termos de segundo grau:
\frac{z-x}{(y-z)^2}+\frac{x-y}{(y-z)^2} =\frac{z-x+x-y}{(y-z)^2} =\frac{z-y}{(y-z)^2} =-\frac{1}{y-z}.
Assim
1 + \frac{1}{y-z} - \frac{1}{y-z} =1.

Resposta

Portanto,
\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial u}{\partial z} =1.

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