Achar z=z(x, y), sabendo que
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x} \text { e } z(x, y)=\operatorname{sen} y, \text { quando } x=1 .

Passo 1

O enunciado dá a derivada parcial
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x^{2}+y^{2}}{x}
e a condição de contorno
z(1,y)=\sin y.
O conteúdo aqui é resolver uma equação parcial integrando em x e depois ajustar uma “constante” de integração que depende de y.

Passo 2

Integramos \partial z/\partial x em relação a x, tratando y como constante:
z(x,y)=\int\!\frac{x^{2}+y^{2}}{x}\,dx + C(y) =\int\!\Bigl(x + \frac{y^{2}}{x}\Bigr)dx + C(y).
Fazendo a integral,
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \quad \int \frac{y^{2}}{x}\,dx = y^{2}\ln|x|,
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z(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+y^{2}\ln|x|+C(y).

Passo 3

Usamos a condição z(1,y)=\sin y:
\sin y = z(1,y) = \frac{1^{2}}{2} + y^{2}\ln|1| + C(y) = \frac{1}{2} + 0 + C(y).
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C(y)=\sin y - \tfrac12.

Passo 4

Substituindo C(y) em z(x,y), obtemos
z(x,y) = \frac{x^{2}}{2} + y^{2}\ln|x| + \sin y - \tfrac12.

Resposta

z(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+y^{2}\ln x+\sin y-\frac12.

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