Achar os limites das sequências seguintes :
Passo 1
Estamos lidando com o limite da sequência
. O assunto é limites de sequências e uso da continuidade da função
. Vamos usar propriedades assintóticas e o fato de
tender a
quando
.
Passo 2
Começamos simplificando o argumento de
. Note que
[\frac{n{3}+1}{n{2}+n^{2}\ln n}=\frac{n{3}+1}{n{2}(1+\ln n)}=\frac{n+\frac{1}{n^{2}}}{1+\ln n},.
Passo 3
Definindo
, observe que para
temos
e
. Logo
[a_n\sim\frac{n}{\ln n}\quade\quad\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty,.
Passo 4
Por fim, como
é contínua e satisfaz
, concluímos que
[\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\operatorname{Arctan}(a_n)=\frac{\pi}{2},.