Achar os limites das sequências seguintes :

Passo 1

Estamos lidando com o limite da sequência un = Arctanl(n^3+1n^2+n^2ln nr). O assunto é limites de sequências e uso da continuidade da função Arctan. Vamos usar propriedades assintóticas e o fato de Arctan(x) tender a pi/2 quando xto+infty.

Passo 2

Começamos simplificando o argumento de Arctan. Note que
[\frac{n{3}+1}{n{2}+n^{2}\ln n}=\frac{n{3}+1}{n{2}(1+\ln n)}=\frac{n+\frac{1}{n^{2}}}{1+\ln n},.

Passo 3

Definindo an=n+1/n^21+ln n, observe que para nto+infty temos 1/n^2to0 e ln nto+infty. Logo
[a_n\sim\frac{n}{\ln n}\quade\quad\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty,.

Passo 4

Por fim, como Arctan(x) é contínua e satisfaz limxto+inftyArctan(x)=pi2, concluímos que
[\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\operatorname{Arctan}(a_n)=\frac{\pi}{2},.

Resposta

pi2

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