Achar os limites das sequências seguintes :
(u_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right){n{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência un = l(1+tfrac1nr)^n^2. O assunto aqui é limite de sequências envolvendo exponencial, e para lidar com potências muito grandes a gente costuma usar o logaritmo natural e um desenvolvimento assintótico de ln(1+x).

Passo 2

Para simplificar a análise, definimos an = ln un. Assim
an = lnl( (1+tfrac1n)^n^2 r) = n^2 lnl(1+tfrac1nr)

Passo 3

Agora usamos o desenvolvimento de Taylor de ln(1+x) ao redor de x=0:
ln(1+x) = x - x^22 + o(x^2) (xto0)

Passo 4

Substituindo x=1/n na expressão de an a gente obtém
an = n^2l(tfrac1n - tfrac12n^2 + o(tfrac1n^2)r) = n - tfrac12 + o(1) Isso mostra que anto+infty quando ntoinfty. Sendo un = e^an, segue que unto+infty.

Resposta

+infty

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