1. t^2 y^prime prime+5 t y^prime+13 y=0, t>0

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de Euler (Cauchy–Euler) de segunda ordem: temos t^2y''+5t y'+13y=0 para t>0. Vamos usar a técnica de substituição y=t^r.

Passo 2

Para a equação de tipo Euler, assumimos y=t^r. Então
y=t^r, y'=r t^r-1, y''=r(r-1)t^r-2

Passo 3

Substituindo na equação original:

Passo 4

Simplificando cada termo aparece t^r como fator comum:
r(r-1)t^r+5r t^r+13 t^r=0Longrightarrow[r(r-1)+5r+13]t^r=0

Passo 5

Como t^rneq0 em t>0, obtemos a equação característica
r(r-1)+5r+13=0Longrightarrow r^2+4r+13=0

Passo 6

Resolvendo r^2+4r+13=0 pelo discriminante De, temos raízes complexas
r=-4pmraiz-362=-2pm3,i

Passo 7

Para raízes r=alphapm ibeta com alpha=-2 e beta=3, a solução geral é

Passo 8

Substituindo alpha=-2 e beta=3 chegamos à forma final:

Resposta

y(t)=t^-2l(C1cos(3ln t)+C2sin(3ln t))

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