Suponha que, para todo partial fpartial x(3,1).
(a) Calcule partial fpartial y(3,1)=2 admitindo f.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de (3,1, f(3,1) no ponto ).

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis f(u,v) tal que, para todo x, f(3x,x^3)=arctan x. Precisamos achar partial fpartial x(3,1) sabendo que partial fpartial y(3,1)=2, e em seguida determinar o plano tangente ao gráfico de f em (3,1,f(3,1)).

Passo 2

Definimos g(x)=f(3x,x^3). Pela regra da cadeia,
g'(x)=partial fpartial u(3x,x^3)cdot3+partial fpartial v(3x,x^3)cdot3x^2

Passo 3

Como g(x)=arctan x, temos
g'(x)=11+x^2

Passo 4

Igualando as expressões em x=1, onde 3x=3 e x^3=1,
3,fx(3,1)+3cdot1^2,fy(3,1)=11+1=12

Passo 5

Substituindo fy(3,1)=2 na equação acima e resolvendo para fx(3,1):
3,fx(3,1)+3cdot2=12Longrightarrow3,fx(3,1)=12-6=-112Longrightarrow fx(3,1)=-116

Passo 6

Para achar f(3,1), basta usar f(3cdot1,1^3)=arctan1=pi4.

Passo 7

O plano tangente em (3,1,pi4) é dado por
z-pi4=fx(3,1),(x-3)+fy(3,1),(y-1)

Resposta

partial fpartial x(3,1)=-tfrac116 ; o plano tangente é z=pi4-116(x-3)+2(y-1)

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