Admita que, para todo (x, y),
x partial fpartial x(x, y)-y partial fpartial y(x, y)=0
Mostre que , é constante.

Passo 1

Nesse exercício temos uma função f(x,y) que satisfaz a equação
de primeira ordem
xpartial fpartial x(x,y) - ypartial fpartial y(x,y) = 0
e queremos mostrar que a função de uma variável
g(t)=f\bigl(t,2/t\bigr), t>0, é constante. Para isso, vamos usar conteúdo de derivada de função composta (regra da cadeia).

Passo 2

Aplique a regra da cadeia para derivar
g(t)=f(x(t),y(t)) com x(t)=t e y(t)=2/t. Temos
g'(t)=partial fpartial x(t,2/t)cdot x'(t) +partial fpartial y(t,2/t)cdot y'(t)
Como x’(t)=1 e y’(t)=-2/t^2, obtemos
g'(t)=fx(t,2/t) - 2t^2,fy(t,2/t)

Passo 3

Use agora a condição dada x f_x - y f_y=0 avaliada em (x,y)=(t,2/t). Isso dá
t,fx(t,2/t) - 2t,fy(t,2/t)=0
ou seja
fx(t,2/t)=2/tt,fy(t,2/t)=2t^2,fy(t,2/t)
Substituindo na expressão de g’(t) temos
g'(t)=2t^2fy(t,2/t) - 2t^2fy(t,2/t)=0

Passo 4

Como g’(t)=0 para todo t>0, concluímos que g(t) não varia com t. Portanto, g(t) é constante em (0,+∞).

Resposta

g(t) é constante para todo t>0.

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