Admita que, para todo
,
Mostre que
, é constante.
Passo 1
Nesse exercício temos uma função f(x,y) que satisfaz a equação
de primeira ordem
de primeira ordem
e queremos mostrar que a função de uma variável
g(t)=f\bigl(t,2/t\bigr), t>0, é constante. Para isso, vamos usar conteúdo de derivada de função composta (regra da cadeia).
g(t)=f\bigl(t,2/t\bigr), t>0, é constante. Para isso, vamos usar conteúdo de derivada de função composta (regra da cadeia).
Passo 2
Aplique a regra da cadeia para derivar
g(t)=f(x(t),y(t)) com x(t)=t e y(t)=2/t. Temos
g(t)=f(x(t),y(t)) com x(t)=t e y(t)=2/t. Temos
Como x’(t)=1 e y’(t)=-2/t^2, obtemos
Passo 3
Use agora a condição dada x f_x - y f_y=0 avaliada em (x,y)=(t,2/t). Isso dá
ou seja
Substituindo na expressão de g’(t) temos
Passo 4
Como g’(t)=0 para todo t>0, concluímos que g(t) não varia com t. Portanto, g(t) é constante em (0,+∞).
Resposta
g(t) é constante para todo t>0.