Achar o maior inteiro de quatro algarismos divisível por 13 e o menor inteiro de cinco algarismos divisível por 15 .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- Achar o maior inteiro de quatro algarismos divisível por
. - Achar o menor inteiro de cinco algarismos divisível por
.
As informações úteis que temos imediatamente são:
- O maior inteiro de quatro algarismos é
. - O menor inteiro de cinco algarismos é
.
Passo 2
Explicação do método (ferramenta que vamos usar): divisão com resto (ou aritmética modular).
- Para um número inteiro
e um divisor , ao dividir por obtemos um quociente inteiro e um resto tal que
- Se quisermos o maior múltiplo de
que seja , basta subtrair o resto:
- Se quisermos o menor múltiplo de
que seja , calculemos o resto de por . Se então já é múltiplo; se então o menor múltiplo é
Vou aplicar exatamente isso aos dois casos.
Passo 3
Aplicando ao primeiro caso: maior inteiro de quatro algarismos divisível por
.
- Tomamos
e . - Vamos achar o resto
ao dividir por . Podemos montar múltiplos de passo a passo para achar um quociente inteiro: -
. -
. Somando: . -
. Somando: . - Assim
.
-
- Então o resto é
- Pelo método, o maior múltiplo de
menor ou igual a é
- Verificação rápida:
sem resto, logo é múltiplo de .
Passo 4
Observação alternativa curta (útil para a prova): em linguagem de piso (função floor),
No nosso caso
, então
. É a mesma resposta, só outra forma de pensar.
Passo 5
Aplicando ao segundo caso: menor inteiro de cinco algarismos divisível por
.
- Tomamos
e . - Vamos achar o resto
ao dividir por . Fazendo múltiplos: -
. -
. Somando: . -
. Somando: . - Assim
.
-
- Logo o resto é
- Como
, o menor múltiplo de maior ou igual a é
- Verificação rápida:
sem resto, então é múltiplo de .
Passo 6
Resumo rápido das contas e checagem:
- Maior quatro dígitos:
menos resto dá , que é . - Menor cinco dígitos:
mais dá , que é .