Achar o maior inteiro de quatro algarismos divisível por 13 e o menor inteiro de cinco algarismos divisível por 15 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • Achar o maior inteiro de quatro algarismos divisível por 13.
  • Achar o menor inteiro de cinco algarismos divisível por 15.
As informações úteis que temos imediatamente são:
  • O maior inteiro de quatro algarismos é 9999.
  • O menor inteiro de cinco algarismos é 10000.

Passo 2

Explicação do método (ferramenta que vamos usar): divisão com resto (ou aritmética modular).
  • Para um número inteiro N e um divisor k, ao dividir N por k obtemos um quociente inteiro q e um resto r tal que
N = kq + r,\qquad 0 \le r < k.
  • Se quisermos o maior múltiplo de k que seja \le N, basta subtrair o resto:
\text{o maior múltiplo de }k\text{ }\le N \;=\; N - r.ú
  • Se quisermos o menor múltiplo de k que seja \ge M, calculemos o resto r de M por k. Se r=0 então M já é múltiplo; se r>0 então o menor múltiplo \ge M é
M + (k-r).
Vou aplicar exatamente isso aos dois casos.

Passo 3

Aplicando ao primeiro caso: maior inteiro de quatro algarismos divisível por 13.
  • Tomamos N = 9999 e k = 13.
  • Vamos achar o resto r ao dividir 9999 por 13. Podemos montar múltiplos de 13 passo a passo para achar um quociente inteiro:
    • 13\cdot 700 = 9100.
    • 13\cdot 60 = 780. Somando: 9100 + 780 = 9880.
    • 13\cdot 9 = 117. Somando: 9880 + 117 = 9997.
    • Assim 13\cdot 769 = 9997.
  • Então o resto é
r = 9999 - 9997 = 2.
  • Pelo método, o maior múltiplo de 13 menor ou igual a 9999 é
9999 - r = 9999 - 2 = 9997.
  • Verificação rápida: 9997 \div 13 = 769 sem resto, logo é múltiplo de 13.

Passo 4

Observação alternativa curta (útil para a prova): em linguagem de piso (função floor),
\text{o maior múltiplo de }k\le N \;=\; k\left\lfloor\frac{N}{k}\right\rfloor.ú
No nosso caso \left\lfloor\dfrac{9999}{13}\right\rfloor = 769, então 13\cdot 769 = 9997. É a mesma resposta, só outra forma de pensar.

Passo 5

Aplicando ao segundo caso: menor inteiro de cinco algarismos divisível por 15.
  • Tomamos M = 10000 e k = 15.
  • Vamos achar o resto r ao dividir 10000 por 15. Fazendo múltiplos:
    • 15\cdot 600 = 9000.
    • 15\cdot 60 = 900. Somando: 9000 + 900 = 9900.
    • 15\cdot 6 = 90. Somando: 9900 + 90 = 9990.
    • Assim 15\cdot 666 = 9990.
  • Logo o resto é
r = 10000 - 9990 = 10.
  • Como r>0, o menor múltiplo de 15 maior ou igual a 10000 é
10000 + (15 - r) = 10000 + (15 - 10) = 10000 + 5 = 10005.
  • Verificação rápida: 10005 \div 15 = 667 sem resto, então é múltiplo de 15.

Passo 6

Resumo rápido das contas e checagem:
  • Maior quatro dígitos: 9999 menos resto 2 9997, que é 13\cdot 769.
  • Menor cinco dígitos: 10000 mais 15-10=5 10005, que é 15\cdot 667.

Resposta

9997
10005

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