Achar uma matriz ortogonal Q tal que Q^t A Q seja uma matriz diagonal com
A=(lll 0 & 2 & 0 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede para achar uma matriz ortogonal Q que diagonalize A por semelhança, ou seja, Q^{t} A Q deve ser diagonal. O conteúdo é diagonalização de matrizes simétricas reais usando uma base ortonormal de autovetores e vamos precisar achar valores e vetores próprios de A e, depois, normalizá-los.

Passo 2

Como A é simétrica, sabemos que existe uma base ortonormal de R^3 formada por seus autovetores. Primeiro vamos calcular o polinômio característico de A:
O polinômio característico é det(A - λI). Como A=
0&2&02&0&00&0&1 temos
det(A-lambda I)=det-lambda&2&02&-lambda&00&0&1-lambda=(1-lambda)(lambda^2-4)
Portanto os valores próprios são lambda1=2, lambda2=-2 e lambda3=1.

Passo 3

Agora achamos os autovetores para cada valor próprio e normalizamos:
Para lambda1=2 resolvemos (A-2I)x=0, o que dá o sistema:
-2x1+2x2=02x1-2x2=0-x3=0
Uma solução é (x1,x2,x3)=(1,1,0). Normalizando, obtemos
v1=1raiz2(1,1,0)

Passo 4

Para lambda2=-2 resolvemos (A+2I)x=0, o que dá o sistema:
2x1+2x2=02x1+2x2=03x3=0
Uma solução é (1,-1,0). Normalizando, vem
v2=1raiz2(1,-1,0)

Passo 5

Para lambda3=1 vemos que a terceira coordenada se separa e um autovetor é
v3=(0,0,1), que já está normalizado.

Passo 6

Por fim, montamos Q com colunas dadas pelos autovetores normalizados v1,v2,v3. Como eles são ortonormais, Q é ortogonal e de fato

Passo 7

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