Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
Os números complexos
visto como um espaço vetorial sobre
e visto como um corpo sobre
.
Os números complexos
Passo 1
A questão pede para verificar se o conjunto dos números complexos
é finito dimensional quando visto como espaço vetorial sobre dois corpos diferentes: primeiro sobre
e depois sobre
. O conteúdo principal envolve definição de espaço vetorial, base e dimensão, e precisamos lembrar como expressar um número complexo usando escalares desses corpos.
Passo 2
Quando consideramos
como espaço vetorial sobre o próprio corpo
, os escalares são números complexos. Qualquer vetor
pode ser escrito como
. Isso mostra que basta o vetor
para gerar todo o espaço. Logo, o espaço é finito dimensional, com dimensão 1 e base
.
Passo 3
Agora, vendo
como espaço vetorial sobre
, os escalares são apenas números reais. Todo
se escreve como
Passo 4
Logo, podemos gerar qualquer
usando os vetores
e
. Assim, o espaço continua finito dimensional, mas agora com dimensão 2 e base
.