Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
Os números complexos C visto como um espaço vetorial sobre C e visto como um corpo sobre R.

Passo 1

A questão pede para verificar se o conjunto dos números complexos C é finito dimensional quando visto como espaço vetorial sobre dois corpos diferentes: primeiro sobre C e depois sobre R. O conteúdo principal envolve definição de espaço vetorial, base e dimensão, e precisamos lembrar como expressar um número complexo usando escalares desses corpos.

Passo 2

Quando consideramos C como espaço vetorial sobre o próprio corpo C, os escalares são números complexos. Qualquer vetor zinC pode ser escrito como z = zcdot 1. Isso mostra que basta o vetor 1 para gerar todo o espaço. Logo, o espaço é finito dimensional, com dimensão 1 e base
1.

Passo 3

Agora, vendo C como espaço vetorial sobre R, os escalares são apenas números reais. Todo zinC se escreve como
z = x + yi, x,yinR

Passo 4

Logo, podemos gerar qualquer z usando os vetores 1 e i. Assim, o espaço continua finito dimensional, mas agora com dimensão 2 e base
1,,i.

Resposta

C sobre C: dimensão 1 e base 1.
C sobre R: dimensão 2 e base 1,i.

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