Calcular os autovalores e autovetores das matrizes seguintes :
Diagonalizar essas matrizes.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar os autovalores e autovetores de quatro matrizes 3×3 e ver se (e como) elas se diagonalizam. O conteúdo principal envolve: 1) montar o polinômio característico det(A–λI)=0, 2) achar as raízes λ (autovalores), 3) resolver (A–λI)x=0 para obter cada autovetor, 4) montar P com colunas formadas pelos autovetores e D diagonal com os autovalores, verificando se P é invertível (diagonalização).
Passo 2
Para A₁=2&1&31&2&33&3&20:
– Montamos det(A₁–λI) e obtemos
λ^3 -24λ^2 +65λ -42 =0
que fatora como ((λ-1)(λ-2)(λ-21)=0. Portanto os autovalores são λ₁=1, λ₂=2, λ₃=21.
– Para λ₁=1, (A₁–I)x=0 ⇒ x+y+3z=0 e 3(x+y+3z)+10z=0 ⇒ z=0, y=–x ⇒ vetor próprio v₁=(1,–1,0).
– Para λ₂=2, (A₁–2I)x=0 ⇒ y+3z=0, x+3z=0 ⇒ x=y=–3z ⇒ escolhemos v₂=(3,3,–1).
– Para λ₃=21, (A₁–21I)x=0 ⇒ y=19x–3z, z=6x ⇒ v₃=(1,1,6).
– Como os três autovetores são L.I., A₁ é diagonalizável com
Passo 3
Para A₂=4&-1&11&3&-10&1&1:
– O polinômio característico dá
(λ-2)(λ-3)^2=0
logo λ₁=2, λ₂=λ₃=3.
– Para λ₁=2, obtemos autovetor v₁=(0,1,1).
– Para λ=3, resolvendo (A₂–3I)x=0 encontramos apenas um vetor próprio (1,2,1) até escalar, ou seja, dimensão do espaço próprio =1 < multiplicidade algébrica 2.
– Conclusão: A₂ não é diagonalizável, pois não há base de R³ formada por autovetores.
Passo 4
Para A₃=1&0&02&-3&-11&-2&-1:
– Como há um bloco triangular, o polinômio é
(1-λ)(λ^2+4λ+1)=0
levando aos autovalores λ₁=1, λ₂=-2+√3, λ₃=-2-√3, todos simples.
– Para λ₁=1, (A₃–I)x=0 ⇒ v₁=(2,1,0).
– Para λ₂ e λ₃, o primeiro componente x=0 e resolvemos o subsistema em y,z; achamos
v₂=(0,1,-1-√3),
v₃=(0,1,-1+√3).
– Eles são L.I., então A₃ é diagonalizável com
Passo 5
Para A₄=1&0&2-1&1&30&-1&-1:
– O polinômio característico é
λ^3 -λ^2 +2λ -4=0
Testando raízes racionais não há solução inteira; pela análise de sinais e Teorema de Bolzano existe apenas um autovalor real (aprox. λ₁≈1.357) e dois complexos conjugados (λ₂,₃≈-0.178±1.337i). Como são três autovalores distintos em C, é diagonalizável sobre C, mas não sobre R.
Passo 6
Em resumo:
• A₁ e A₃ são diagonalizáveis sobre R; exibimos P₁,D₁ e P₃,D₃.
• A₂ não é diagonalizável (falta dimensão do espaço próprio para λ=3).
• A₄ só diagonaliza em C, cujos autovalores são as raízes da equação λ³-λ²+2λ-4=0.
A₄: pol. característico λ³–λ²+2λ–4=0, um autovalor real λ≈1.357 e dois complexos ≈–0.178±1.337i; diagonalizável apenas sobre C com P de autovetores complexos e D diagonal contendo essas raízes.