b. Calcular De, o determinante da matriz quadrada n * n com todos os elementos da diagonale iguais a a e todos os outros elementos iguais a 1.
Passo 1
O exercício pede para calcular os determinantes De e De de matrizes com elementos da diagonal iguais a a e todos os demais iguais a 1, e depois generalizar para De, o determinante de uma matriz ntimes n com a na diagonal e 1 fora. O conteúdo é determinantes de matrizes especiais, onde podemos usar definição direta, regra de Sarrus e propriedades de matrizes da forma (a-1)I + J.
Passo 2
Para De, usamos a fórmula do determinante 2×2:
De
Passo 3
Para De, aplicamos a regra de Sarrus em
De
As somas das diagonais principais são a^3 + 2 e das secundárias são 3a. Logo
De
Passo 4
Observamos o padrão De e De. Para generalizar, escrevemos a matriz genérica como
A = aI + (J - I) = (a-1)I + J,
onde J é a matriz de todos 1’s. Sabemos que J tem autovalores n (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade n-1). Assim, A tem autovalores (a-1)+n = a+n-1 (uma vez) e (a-1)+0 = a-1 (n-1 vezes).
Passo 5
Como o determinante é o produto dos autovalores, concluímos