a. Calcular
De
b. Calcular De, o determinante da matriz quadrada n * n com todos os elementos da diagonale iguais a a e todos os outros elementos iguais a 1.

Passo 1

O exercício pede para calcular os determinantes De e De de matrizes com elementos da diagonal iguais a a e todos os demais iguais a 1, e depois generalizar para De, o determinante de uma matriz ntimes n com a na diagonal e 1 fora. O conteúdo é determinantes de matrizes especiais, onde podemos usar definição direta, regra de Sarrus e propriedades de matrizes da forma (a-1)I + J.

Passo 2

Para De, usamos a fórmula do determinante 2×2:
De

Passo 3

Para De, aplicamos a regra de Sarrus em
De
As somas das diagonais principais são a^3 + 2 e das secundárias são 3a. Logo
De

Passo 4

Observamos o padrão De e De. Para generalizar, escrevemos a matriz genérica como
A = aI + (J - I) = (a-1)I + J,
onde J é a matriz de todos 1’s. Sabemos que J tem autovalores n (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade n-1). Assim, A tem autovalores (a-1)+n = a+n-1 (uma vez) e (a-1)+0 = a-1 ( n-1 vezes).

Passo 5

Como o determinante é o produto dos autovalores, concluímos
De

Resposta

As respostas são:
De, De e De

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