Dado um corpo
. Um subcorpo
é um subconjunto de
que é corpo quando restringimos as operações de
a
.
a Mostre que
é espaço vetorial sobre
.
b Suponha que
é um subespaço
-dimensional sobre
. Suponha que
é um espaço
dimensional sobre
. Qual a dimensão de
sobre
?
a Mostre que
b Suponha que
Passo 1
O enunciado diz que temos um corpo (campo)
e um subcorpo
. Na parte (a) precisamos mostrar que, usando as operações de
, o conjunto
é um espaço vetorial sobre
. Na parte (b) temos um subespaço
de dimensão
sobre
e sabemos que
é de dimensão
sobre
. O objetivo é encontrar a dimensão de
quando visto como espaço vetorial sobre
. Vamos usar conceitos de vetores, base e dimensão.
Passo 2
Para (a), note que
é um grupo abeliano sob adição (toda subestrutura de campo herda a adição) e que podemos definir a multiplicação por escalar
agindo em
simplesmente como a multiplicação em
. Como
é subcampo, a multiplicação, distributividade e associatividade já valem em
. Logo, todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso, distributividade em relação a soma de escalares e de vetores, e compatibilidade entre escalares) estão garantidos. Assim,
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 3
Para (b), seja
uma base de
sobre
(dimensão
) e seja
uma base de
sobre
(dimensão
). Qualquer
pode ser escrito como
E cada
se decompõe em combinação sobre
:
Substituindo, obtemos
mostrando que o conjunto
espai de geração de sobre
.
espai de geração de
Passo 4
Falta ver que esses
vetores são linearmente independentes sobre
. Suponha
com
. Reagrupando como
e usando a independência de
sobre
, cada soma
deve ser zero em
. Mas
é independente sobre
, então todos
. Logo esses
vetores são independentes em
sobre
e formam base.
Passo 5
Como encontramos exatamente
vetores que geram
sobre
e são independentes, concluímos que a dimensão de
sobre
é
.