Dado um corpo F. Um subcorpo K é um subconjunto de F que é corpo quando restringimos as operações de F a K.
a Mostre que F é espaço vetorial sobre K.
b Suponha que L é um subespaço m-dimensional sobre F. Suponha que F é um espaço n dimensional sobre K. Qual a dimensão de L sobre K ?

Passo 1

O enunciado diz que temos um corpo (campo) F e um subcorpo Ksubset F. Na parte (a) precisamos mostrar que, usando as operações de F, o conjunto F é um espaço vetorial sobre K. Na parte (b) temos um subespaço L de dimensão m sobre F e sabemos que F é de dimensão n sobre K. O objetivo é encontrar a dimensão de L quando visto como espaço vetorial sobre K. Vamos usar conceitos de vetores, base e dimensão.

Passo 2

Para (a), note que F é um grupo abeliano sob adição (toda subestrutura de campo herda a adição) e que podemos definir a multiplicação por escalar lambdain K agindo em xin F simplesmente como a multiplicação em F. Como K é subcampo, a multiplicação, distributividade e associatividade já valem em F. Logo, todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso, distributividade em relação a soma de escalares e de vetores, e compatibilidade entre escalares) estão garantidos. Assim, F é um espaço vetorial sobre K.

Passo 3

Para (b), seja v1,dots,vn uma base de F sobre K (dimensão n) e seja u1,dots,um uma base de L sobre F (dimensão m). Qualquer ellin L pode ser escrito como
ell=sumj=1^malphaj uj, alphajin F
E cada alphaj se decompõe em combinação sobre K:
alphaj=sumi=1^nbetaijvi, betaijin K
Substituindo, obtemos
ell=sumj=1^msumi=1^nbetaij(vi uj),
mostrando que o conjunto
L
espai de geração de K sobre .

Passo 4

Falta ver que esses nm vetores são linearmente independentes sobre K. Suponha
sumj=1^msumi=1^ngammaij(vi uj)=0,
com gammaijin K. Reagrupando como
sumj=1^ml(sumi=1^ngammaijvir)uj=0
e usando a independência de uj sobre F, cada soma sumi=1^ngammaijvi deve ser zero em F. Mas vi é independente sobre K, então todos gammaij=0. Logo esses nm vetores são independentes em L sobre K e formam base.

Passo 5

Como encontramos exatamente nm vetores que geram L sobre K e são independentes, concluímos que a dimensão de L sobre K é nm.

Resposta

mn

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