Achar a matriz de passagem P da base canonica para a base
B=(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)
Calcular a inversa P^-1.

Passo 1

O exercício pede para achar a matriz de passagem da base canônica para a base B=(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) e, em seguida, calcular sua inversa. O tema aqui é mudança de base em R^3, para isso vamos usar a definição de matriz de passagem e a fórmula da inversa via adjunta.

Passo 2

Lembrando que, para ir da base canônica para a base B, basta colocar como colunas de P os vetores de B escritos na base canônica. Assim,
P= 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0

Passo 3

Para calcular P^-1, primeiro precisamos do determinante de P. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores,
det(P)=0cdot(0cdot0-1cdot1)-1cdot(1cdot0-1cdot1)+1cdot(1cdot1-0cdot1)=2

Passo 4

Em seguida, montamos a matriz dos cofatores de P, tomamos a transposta (que é a adjunta) e dividimos por det(P). Calculando os menores e sinais, obtemos a matriz dos cofatores
Cof(P)= -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 ,

Passo 5

e a adjunta é a transposta dessa matriz, mas note que Cof(P) já é simétrica. Logo,
P^-1=1det(P)adj(P)=12 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1

Resposta

P= 0&1&11&0&11&1&0,\quad P^{-1}=\frac{1}{2} -1&1&11&-1&11&1&-1

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