a. Provar que B=(1,1,-1),(-1,1,1),(1,-2,1) é uma base de R^3.
b. Calcular a matriz de passagem P da base canonica para a base B.
c. Seja v=(1,0,1). Achar as coordenadas de v na base B ?
d. Seja T: R^3 R^3, tal que T(x, y, z)=(2 y, 5 x+3 z,-4 x-2 y-4 z). Achar as matrizes [T] e [T]B^B.

Passo 1

O enunciado pede: a) mostrar que os vetores de B formam uma base de R^3; b) calcular a matriz de passagem P da base canônica para B; c) encontrar as coordenadas de v=(1,0,1) na base B; d) determinar a matriz de T na base canônica e em B. Vamos usar teoria de determinante para independência, sistemas lineares para coordenadas e a fórmula de mudança de base [T]B^B = P^-1[T]P.

Passo 2

Para provar que B é base, julgue a matriz cujas colunas são os vetores de B:
P= 1 & -1 & 1 1 & 1 & -2 -1 & 1 & 1
Calcule o determinante:
det(P)=1cdot(1cdot1-(-2)cdot1)-(-1)cdot(1cdot1-(-2)cdot(-1))+1cdot(1cdot1-1cdot(-1))=4neq0
Como det(P)neq0, os vetores são linearmente independentes e, por serem três em R^3, formam base.

Passo 3

A matriz de passagem da base canônica e1,e2,e3 para B tem como colunas as coordenadas dos vetores de B na base canônica. Logo,
P= 1 & -1 & 1 1 & 1 & -2 -1 & 1 & 1

Passo 4

Para achar as coordenadas (alpha,beta,gamma) de v=(1,0,1) em B, resolvemos
alpha(1,1,-1)+beta(-1,1,1)+gamma(1,-2,1)=(1,0,1)
Isso gera o sistema
alpha-beta+gamma=1, alpha+beta-2gamma=0, -alpha+beta+gamma=1,
cuja solução é alpha=1,beta=1,gamma=1. Assim, [v]B=(1,1,1).

Passo 5

Para obter [T] na base canônica, calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(0,5,-4), T(e2)=(2,0,-2), T(e3)=(0,3,-4)
Logo,
[T]=0 & 2 & 05 & 0 & 3-4 & -2 & -4
Para [T]B^B, usamos [T]B^B=P^-1[T]P. Calculando explicitamente, encontra-se
[T]B^B=2 & 0 & 00 & -2 & 00 & 0 & -4

Passo 6

Resposta

a) Como det(P)=4neq0, os vetores de B são linearmente independentes e formam base de R^3.
b) P=1 & -1 & 11 & 1 & -2-1 & 1 & 1.
c) [v]B=(1,1,1).
d) [T]=0 & 2 & 05 & 0 & 3-4 & -2 & -4 e [T]B^B=2 & 0 & 00 & -2 & 00 & 0 & -4.

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