Provar que B1=(1,2,1),(2,3,3),(3,7,1) e B2=(3,1,4),(5,2,3),(1,1,-5) são bases de R^3. Calcular a matriz de passagem P da base B1 para a a base B2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
B₁={ (1,2,1),(2,3,3),(3,7,1) } e B₂={ (3,1,4),(5,2,3),(1,1,−5) } são bases de ℝ³ e depois calcular a matriz de passagem P de B₁ para B₂. O conteúdo envolvido é teoria de bases em espaços vetoriais e mudança de base, e vamos precisar usar determinantes para garantir independência linear e resolver sistemas lineares para obter coordenadas.

Passo 2

Para mostrar que B₁ é base, montamos a matriz cujas colunas são os vetores de B₁ e calculamos seu determinante. Se o determinante for não nulo, os vetores são linearmente independentes e, como são três em ℝ³, formam uma base. A matriz é
M1=1 & 2 & 32 & 3 & 71 & 3 & 1
Usando a regra de Sarrus ou expansão, achamos
det(M1)=1(3·1−3·7)−2(2·1−3·3)+3(2·3−3·3)=1(3−21)−2(2−9)+3(6−9)=−18+14−9=−13+5=1neq0
Logo, B₁ é base.

Passo 3

De modo análogo, para B₂ formamos
M2=3 & 5 & 11 & 2 & 14 & 3 & -5
e calculamos
det(M2)=3(2·(−5)−3·1)−5(1·(−5)−3·1)+1(1·3−2·1) =3(−10−3)−5(−5−3)+1(3−2) =3(−13)−5(−8)+1(1) =−39+40+1=2
O determinante também é não nulo, então B₂ é base.

Passo 4

Para encontrar a matriz de passagem P de B₁ para B₂, lembramos que suas colunas são as coordenadas de cada vetor de B₁ em relação a B₂. Ou seja, para cada vetor b₁ⱼ em B₁ resolvemos
b₁ⱼ=xⱼ·(3,1,4)+yⱼ·(5,2,3)+zⱼ·(1,1,−5)
e o vetor (xⱼ,yⱼ,zⱼ)ᵀ é a j-ésima coluna de P.

Passo 5

Para b₁₁=(1,2,1) resolvemos o sistema
3x+5y+z=1 x+2y+z=2 4x+3y−5z=1
que, por eliminação, dá x=46, y=−31, z=18. Então a primeira coluna de P é (46,−31,18)ᵀ.

Passo 6

Para b₁₂=(2,3,3) fazemos
3x+5y+z=2 x+2y+z=3 4x+3y−5z=3
cuja solução é x=67, y=−45, z=26. A segunda coluna de P é (67,−45,26)ᵀ.

Passo 7

Para b₁₃=(3,7,1) resolvemos
3x+5y+z=3 x+2y+z=7 4x+3y−5z=1
obtendo x=160, y=−108, z=63. A terceira coluna de P é (160,−108,63)ᵀ.

Resposta

A matriz de passagem de B₁ para B₂ é
[
P= 46 & 67 & 160 -31 & -45 & -108 18 & 26 & 63 .

Exercícios relacionados