Provar que e são bases de . Calcular a matriz de passagem da base para a a base .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
B₁={ (1,2,1),(2,3,3),(3,7,1) } e B₂={ (3,1,4),(5,2,3),(1,1,−5) } são bases de ℝ³ e depois calcular a matriz de passagem P de B₁ para B₂. O conteúdo envolvido é teoria de bases em espaços vetoriais e mudança de base, e vamos precisar usar determinantes para garantir independência linear e resolver sistemas lineares para obter coordenadas.
Passo 2
Para mostrar que B₁ é base, montamos a matriz cujas colunas são os vetores de B₁ e calculamos seu determinante. Se o determinante for não nulo, os vetores são linearmente independentes e, como são três em ℝ³, formam uma base. A matriz é
O determinante também é não nulo, então B₂ é base.
Passo 4
Para encontrar a matriz de passagem P de B₁ para B₂, lembramos que suas colunas são as coordenadas de cada vetor de B₁ em relação a B₂. Ou seja, para cada vetor b₁ⱼ em B₁ resolvemos
b₁ⱼ=xⱼ·(3,1,4)+yⱼ·(5,2,3)+zⱼ·(1,1,−5) ₁ⱼⱼⱼⱼ
e o vetor (xⱼ,yⱼ,zⱼ)ᵀ é a j-ésima coluna de P.
Passo 5
Para b₁₁=(1,2,1) resolvemos o sistema
3x+5y+z=1 x+2y+z=2 4x+3y−5z=1
que, por eliminação, dá x=46, y=−31, z=18. Então a primeira coluna de P é (46,−31,18)ᵀ.
Passo 6
Para b₁₂=(2,3,3) fazemos
3x+5y+z=2 x+2y+z=3 4x+3y−5z=3
cuja solução é x=67, y=−45, z=26. A segunda coluna de P é (67,−45,26)ᵀ.
Passo 7
Para b₁₃=(3,7,1) resolvemos
3x+5y+z=3 x+2y+z=7 4x+3y−5z=1
obtendo x=160, y=−108, z=63. A terceira coluna de P é (160,−108,63)ᵀ.