Dado
o espaço das funções contínuas em
. Quais dos seguintes funcionais sã o lineares
(a)
b
c
(delta de Dirac)
d
com
uma função contínua fixa.
(a)
b
c
d
Passo 1
Estamos com o espaço de funções contínuas em [-1,1], e precisamos decidir quais dos funcionais abaixo satisfazem a propriedade de linearidade: para todo f,g e escalares a,b vale L(af+bg)=aL(f)+bL(g).
Passo 2
Para o funcional (a) L(f)=∫_{-1}^{1}f(x)dx, usamos a propriedade da integral linear: (L(af+bg)=∫_{-1}{1}(af+bg)(x)dx=a∫_{-1}{1}f(x)dx+b∫_{-1}^{1}g(x)dx=aL(f)+bL(g). Logo, é linear.
Passo 3
Para o funcional (b) M(f)=∫_{-1}{1}f2(x)dx, note que M(f+g)=∫(f+g)2=∫f2+2∫fg+∫g^2, não se separa apenas em M(f)+M(g). Por exemplo, para f=g≠0 temos M(2f)=∫4f^2=4M(f)≠2M(f). Portanto, não é linear.
Passo 4
Para o funcional © E(f)=f(0), avaliamos E(af+bg)=(af+bg)(0)=a f(0)+b g(0)=aE(f)+bE(g). É a aplicação delta de Dirac em 0, que é linear.
Passo 5
Para o funcional (d) N(f)=∫_{-1}^{1}f(x),g(x)dx com g fixada, temos N(af+bh)=∫(af+bh)g=a∫fg+b∫hg=aN(f)+bN(h). Logo, também é linear.
Resposta
Os funcionais (a), © e (d) são lineares, enquanto o funcional (b) não é linear.