Seja
um espaço vetorial com um produto interno. Sejam
e
dois subespaços vetoriais de
. Provar que:
a. Se
então
;
b.
;
c.
.
a. Se
b.
c.
Passo 1
O enunciado pede para, num espaço vetorial com produto interno
, e dados dois subespaços
e
, provar três propriedades relativas aos complementos ortogonais: se
, então
; que
; e que
. Para isso vamos precisar da definição de complemento ortogonal e de propriedades básicas como o fato de que, em dimensão finita,
para qualquer subespaço
.
Passo 2
Antes de tudo, lembremos a definição de complemento ortogonal de um subespaço
:
(a) Suponha
e tome
. Como todo
também pertence a
, temos
. Logo
. Assim concluímos
.
Passo 3
(b) Vamos provar primeiro
. Se
, então para todo
e
vale
Escolhendo
obtemos
para todo
, logo
. De modo análogo, escolhendo
vemos que
. Assim
. Agora, se
, então para qualquer
ou seja,
. Isso mostra
. Com as duas inclusões, segue
Passo 4
© Primeiro mostramos
. Se
com
e
, então para todo
portanto
.
Passo 5
Para a inclusão inversa, em dimensão finita temos o fato crucial
para todo subespaço
. Aplicando isso em
e usando o resultado de (b) com troca de papéis, obtemos
Tomando o complemento ortogonal em ambos os lados desta igualdade, vem
Passo 6
Com isso demonstramos todas as igualdades e inclusões pedidas.
Resposta
a. Se
então
;
b. ;
c. .
b.
c.