Seja E um espaço vetorial com um produto interno. Sejam F e G dois subespaços vetoriais de E. Provar que:
a. Se F subset G então G^perp subset F^perp;
b. (F+G)^perp=F^perp cap G^perp;
c. (F cap G)^perp=F^perp+G^perp.

Passo 1

O enunciado pede para, num espaço vetorial com produto interno E, e dados dois subespaços F e G, provar três propriedades relativas aos complementos ortogonais: se Fsubset G, então G^perpsubset F^perp; que (F+G)^perp=F^perpcap G^perp; e que (Fcap G)^perp=F^perp+G^perp. Para isso vamos precisar da definição de complemento ortogonal e de propriedades básicas como o fato de que, em dimensão finita, (H^perp)^perp=H para qualquer subespaço H.

Passo 2

Antes de tudo, lembremos a definição de complemento ortogonal de um subespaço H:
H^perp=xin E:lang<= x,hrang<==0;forall hin H
(a) Suponha Fsubset G e tome xin G^perp. Como todo fin F também pertence a G, temos lang<= x,frang<==0. Logo xin F^perp. Assim concluímos G^perpsubset F^perp.

Passo 3

(b) Vamos provar primeiro (F+G)^perpsubset F^perpcap G^perp. Se xin(F+G)^perp, então para todo fin F e gin G vale
lang<= x,f+grang<==0
Escolhendo g=0 obtemos lang<= x,frang<==0 para todo f, logo xin F^perp. De modo análogo, escolhendo f=0 vemos que xin G^perp. Assim xin F^perpcap G^perp. Agora, se xin F^perpcap G^perp, então para qualquer h=f+gin F+G
lang<= x,hrang<==lang<= x,frang<=+lang<= x,grang<==0+0=0,
ou seja, xin(F+G)^perp. Isso mostra F^perpcap G^perpsubset(F+G)^perp. Com as duas inclusões, segue
(F+G)^perp=F^perpcap G^perp

Passo 4

© Primeiro mostramos F^perp+G^perpsubset(Fcap G)^perp. Se x=u+v com uin F^perp e vin G^perp, então para todo yin Fcap G
lang<= x,yrang<==lang<= u,yrang<=+lang<= v,yrang<==0+0=0
portanto xin(Fcap G)^perp.

Passo 5

Para a inclusão inversa, em dimensão finita temos o fato crucial
(H^perp)^perp=H
para todo subespaço H. Aplicando isso em H=F^perp,,G^perp e usando o resultado de (b) com troca de papéis, obtemos
(F^perp+G^perp)^perp=F^perpperpcap G^perpperp=Fcap G
Tomando o complemento ortogonal em ambos os lados desta igualdade, vem
F^perp+G^perp=(Fcap G)^perp

Passo 6

Com isso demonstramos todas as igualdades e inclusões pedidas.

Resposta

a. Se Fsubset G então G^perpsubset F^perp;
b. (F+G)^perp=F^perpcap G^perp;
c. (Fcap G)^perp=F^perp+G^perp.

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