No corpo dos reais prove que:
se e somente se
. (Pode simplificar elementos iguais dos dois lados).
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para quaisquer
,
O que vamos usar: as propriedades do grupo abeliano
, em especial a compatibilidade de igualdade com a adição, a existência do elemento neutro
e do inverso aditivo
, e a associatividade.
Passo 2
Prova de “
”: suponha que
Pela propriedade de compatibilidade da igualdade com a adição, podemos somar
a ambos os lados sem alterar a igualdade. Logo
Passo 3
Prova de “
”: suponha que
Como todo real
tem inverso aditivo
, somamos
aos dois lados da igualdade:
Pela associatividade, o lado esquerdo fica
e análogamente o lado direito é
Portanto concluímos
Resposta
Fica demonstrado que