No corpo dos reais prove que: a=b se e somente se a+c=b+c. (Pode simplificar elementos iguais dos dois lados).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para quaisquer a,b,cinR,
a = b Long<=ftrightarrow a + c = b + c
O que vamos usar: as propriedades do grupo abeliano (R,+), em especial a compatibilidade de igualdade com a adição, a existência do elemento neutro 0 e do inverso aditivo -c, e a associatividade.

Passo 2

Prova de “ Longrightarrow”: suponha que
a = b
Pela propriedade de compatibilidade da igualdade com a adição, podemos somar c a ambos os lados sem alterar a igualdade. Logo
a + c = b + c

Passo 3

Prova de “ Long<=ftarrow”: suponha que
a + c = b + c
Como todo real c tem inverso aditivo -c, somamos -c aos dois lados da igualdade:
(a + c) + (-c) ;=;(b + c) + (-c)
Pela associatividade, o lado esquerdo fica
a + l(c + (-c)r) = a + 0 = a,
e análogamente o lado direito é
b + l(c + (-c)r) = b + 0 = b
Portanto concluímos
a = b

Resposta

Fica demonstrado que
a = b Long<=ftrightarrow a + c = b + c

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