No corpo dos reais prove que:
se e somente se
. (Pode passar pro outro lado trocando o sinal).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, no corpo dos reais, que
Aqui vamos usar as propriedades do grupo aditivo
: existência do elemento neutro
, existência de inversos aditivos (para cada
existe
), associatividade e a definição de subtração como
Passo 2
Prova de
Se , então somamos
aos dois lados da igualdade:
Se
Pela associatividade,
. Como
, isso vira
. Logo
Passo 3
Prova de
Se , escrevemos
como
e somamos
aos dois lados:
Se
Pela associatividade,
. Como
, obtemos
. Assim
Resposta
Portanto, usando as propriedades do grupo aditivo em
, concluímos que