No corpo dos reais prove que: a+c=b se e somente se a=b-c. (Pode passar pro outro lado trocando o sinal).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no corpo dos reais, que
a + c = b Long<=ftrightarrow a = b - c
Aqui vamos usar as propriedades do grupo aditivo R: existência do elemento neutro 0, existência de inversos aditivos (para cada x existe -x), associatividade e a definição de subtração como
b - c := b + (-c)

Passo 2

Prova de a + c = bimplies a = b - c
Se a + c = b, então somamos -c aos dois lados da igualdade:
(a + c) + (-c) = b + (-c)
Pela associatividade, (a + c) + (-c) = a + (c + (-c)). Como c + (-c)=0, isso vira a + 0 = a. Logo
a = b + (-c) = b - c

Passo 3

Prova de a = b - cimplies a + c = b
Se a = b - c, escrevemos b - c como b + (-c) e somamos c aos dois lados:
a + c = l(b + (-c)r) + c
Pela associatividade, (b + (-c)) + c = b + l((-c) + cr). Como (-c)+c=0, obtemos b + 0 = b. Assim
a + c = b

Resposta

Portanto, usando as propriedades do grupo aditivo em R, concluímos que
a + c = b Long<=ftrightarrow a = b - c

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