Achar o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede: achar o ponto do eixo das ordenadas que é equidistante dos pontos
e
.
Informações dadas:
-
. -
. - O ponto procurado pertence ao eixo das ordenadas (eixo
), isto é, tem a forma para algum número real .
Objetivo claro: encontrar o valor de
tal que a distância de
até
seja igual à distância até
.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): distância entre dois pontos no espaço tridimensional.
Se
e
, a distância euclidiana entre eles é
Explicando: cada diferença
,
,
mede a “separação” em cada eixo; ao elevar ao quadrado e somar aplicamos o teorema de Pitágoras em 3D, e a raiz volta ao comprimento real.
Truque prático: para evitar raízes, igualamos os quadrados das distâncias, isto é, igualamos as somas dos quadrados das diferenças — isso dá uma equação algébrica mais simples.
Truque prático: para evitar raízes, igualamos os quadrados das distâncias, isto é, igualamos as somas dos quadrados das diferenças — isso dá uma equação algébrica mais simples.
Passo 3
Parametrização do ponto no eixo das ordenadas: seja
onde
é o número real a determinar.
Vamos escrever as distâncias ao quadrado de
até
e até
usando a fórmula do Passo 2.
Passo 4
Distância ao quadrado de
até
:
Distância ao quadrado de
até
:
Passo 5
Impondo que
seja equidistante de
e
, igualamos as duas expressões:
Agora resolvemos essa equação passo a passo.
Expandindo ambos os quadrados:
Substituindo:
Somando constantes:
Cancelando
dos dois lados:
Isolando
:
Passo 6
Verificação rápida (cheque final): para
, o ponto é
.
Calcular as distâncias ao quadrado:
Calcular as distâncias ao quadrado:
(escrevendo na ordem usada antes:
) e
(ou
). Como os quadrados das distâncias coincidem, as distâncias coincidem: ponto correto.
Você conseguiu! O ponto do eixo
equidistante de
e
é
.