Achar o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos \mathrm{A}(1,1,3) e \mathrm{B}(2,2,1).

Passo 1

O enunciado pede: achar o ponto do eixo das ordenadas que é equidistante dos pontos \mathrm{A}(1,1,3) e \mathrm{B}(2,2,1).
Informações dadas:
  • \mathrm{A} = (1,1,3).
  • \mathrm{B} = (2,2,1).
  • O ponto procurado pertence ao eixo das ordenadas (eixo y), isto é, tem a forma (0,y,0) para algum número real y.
Objetivo claro: encontrar o valor de y tal que a distância de (0,y,0) até \mathrm{A} seja igual à distância até \mathrm{B}.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): distância entre dois pontos no espaço tridimensional.
Se P_1=(x_1,y_1,z_1) e P_2=(x_2,y_2,z_2), a distância euclidiana entre eles é
\text{dist}(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicando: cada diferença (x_2-x_1), (y_2-y_1), (z_2-z_1) mede a “separação” em cada eixo; ao elevar ao quadrado e somar aplicamos o teorema de Pitágoras em 3D, e a raiz volta ao comprimento real.
Truque prático: para evitar raízes, igualamos os quadrados das distâncias, isto é, igualamos as somas dos quadrados das diferenças — isso dá uma equação algébrica mais simples.

Passo 3

Parametrização do ponto no eixo das ordenadas: seja
P=(0,y,0),
onde y é o número real a determinar.
Vamos escrever as distâncias ao quadrado de P até \mathrm{A} e até \mathrm{B} usando a fórmula do Passo 2.

Passo 4

Distância ao quadrado de P até \mathrm{A}(1,1,3):
\begin{aligned} \text{dist}^2(P,\mathrm{A}) &=(0-1)^2+(y-1)^2+(0-3)^2 \\\ &=1+(y-1)^2+9 \\\ &=(y-1)^2+10. \end{aligned}
Distância ao quadrado de P até \mathrm{B}(2,2,1):
\begin{aligned} \text{dist}^2(P,\mathrm{B}) &=(0-2)^2+(y-2)^2+(0-1)^2 \\\ &=4+(y-2)^2+1 \\\ &=(y-2)^2+5. \end{aligned}

Passo 5

Impondo que P seja equidistante de \mathrm{A} e \mathrm{B}, igualamos as duas expressões:
(y-1)^2+10=(y-2)^2+5.
Agora resolvemos essa equação passo a passo.
Expandindo ambos os quadrados:
(y-1)^2 = y^2-2y+1, \qquad (y-2)^2 = y^2-4y+4.
Substituindo:
y^2-2y+1+10 = y^2-4y+4+5.
Somando constantes:
y^2-2y+11 = y^2-4y+9.
Cancelando y^2 dos dois lados:
-2y+11 = -4y+9.
Isolando y:
-2y +4y = 9-11 \quad\Rightarrow\quad 2y = -2 \quad\Rightarrow\quad y = -1.

Passo 6

Verificação rápida (cheque final): para y=-1, o ponto é P=(0,-1,0).
Calcular as distâncias ao quadrado:
\text{dist}^2(P,\mathrm{A}) = ( -1 - 1)^2 + 1 + 9 = 4 + 1 + 9 = 14,
(escrevendo na ordem usada antes: (0-1)^2+( -1-1)^2+(0-3)^2 = 1+4+9=14) e
\text{dist}^2(P,\mathrm{B}) = ( -1 - 2)^2 + 4 + 1 = 9 + 4 + 1 = 14,
(ou (0-2)^2+(-1-2)^2+(0-1)^2 = 4+9+1=14). Como os quadrados das distâncias coincidem, as distâncias coincidem: ponto correto.
Você conseguiu! O ponto do eixo y equidistante de \mathrm{A} e \mathrm{B} é (0,-1,0).

Resposta

(0,-1,0)

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