Calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
. Pede-se a derivada escrita como
. Informações relevantes:
- A função envolve
, logo o domínio natural é . - O objetivo é calcular a derivada e apresentar o resultado em termos de
(ou seja, trocar a variável por no final).
Passo 2
Uma maneira prática é reescrever a função multiplicando potências:
Aqui definimos
e
. Vamos usar a regra do produto para derivar
.
Passo 3
Regra do produto (explicação didática): se
, então
Também precisamos das derivadas básicas:
- Derivada do logaritmo:
. - Derivada da potência:
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto com
e
:
Agora simplificamos cada termo:
. Assim
Reescrevendo em forma de fração:
Passo 5
Verificação rápida pelo quociente (outra forma, para ver que bate): para
a regra do quociente dá
que coincide com o resultado acima.
Passo 6
Como o enunciado pediu
, trocamos a variável
por
. Lembrete final: o resultado vale para
(domínio da função original). Força aí — tá ótimo, é um derivada curtinha e elegante!