Calcule f^{\prime}(x) :
f(y)=\frac{\ln y}{y}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(y)=\frac{\ln y}{y}. Pede-se a derivada escrita como f'(x). Informações relevantes:
  • A função envolve \ln y, logo o domínio natural é y>0.
  • O objetivo é calcular a derivada e apresentar o resultado em termos de x (ou seja, trocar a variável y por x no final).

Passo 2

Uma maneira prática é reescrever a função multiplicando potências:
f(y)=(\ln y)\,y^{-1}.
Aqui definimos u(y)=\ln y e v(y)=y^{-1}. Vamos usar a regra do produto para derivar u\cdot v.

Passo 3

Regra do produto (explicação didática): se w(y)=u(y)\,v(y), então
w'(y)=u'(y)\,v(y)+u(y)\,v'(y).
Também precisamos das derivadas básicas:
  • Derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dy}\big(\ln y\big)=\dfrac{1}{y}.
  • Derivada da potência: \dfrac{d}{dy}\big(y^{-1}\big)=-1\cdot y^{-2}=-y^{-2}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto com u=\ln y e v=y^{-1}:
f'(y)=\frac{1}{y}\cdot y^{-1}+(\ln y)\cdot(-y^{-2}).
Agora simplificamos cada termo: \dfrac{1}{y}\cdot y^{-1}=y^{-2}. Assim
f'(y)=y^{-2}-(\ln y)\,y^{-2}=(1-\ln y)\,y^{-2}.
Reescrevendo em forma de fração:
f'(y)=\frac{1-\ln y}{y^{2}}.

Passo 5

Verificação rápida pelo quociente (outra forma, para ver que bate): para f(y)=\dfrac{\ln y}{y} a regra do quociente dá
f'(y)=\frac{y\cdot\frac{1}{y}-\ln y\cdot 1}{y^{2}}=\frac{1-\ln y}{y^{2}},
que coincide com o resultado acima.

Passo 6

Como o enunciado pediu f'(x), trocamos a variável y por x. Lembrete final: o resultado vale para x>0 (domínio da função original). Força aí — tá ótimo, é um derivada curtinha e elegante!

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}

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