Calcule f^{\prime}(x) :
f(t)=t g t \cdot \log _{9} t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=t\;\tan t\cdot \log_{9} t
e pede a derivada f'(x). Informações importantes que temos:
  • A função é produto de três fatores: t, \tan t e \log_{9} t.
  • Não há valores numéricos a substituir — queremos a expressão simbólica da derivada.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto generalizada para três fatores. Se u(t), v(t) e w(t) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(u v w\big)=u' v w + u v' w + u v w'.
Aqui podemos identificar u(t)=t, v(t)=\tan t e w(t)=\log_{9} t. A ideia é derivar cada fator mantendo os outros dois intactos e somar as três parcelas. Isso é prático e rápido na prova.

Passo 3

Derivada do primeiro fator u(t)=t:
u'(t)=1,
porque a derivada de t em relação a t é 1.

Passo 4

Derivada do segundo fator v(t)=\tan t. Vamos lembrar uma forma simples de ver isso: \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}. Derivando usando a regra do quociente:
\frac{d}{dt}\tan t=\frac{\cos t\cdot\cos t - \sin t\cdot(-\sin t)}{\cos^2 t}=\frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\cos^2 t}=\frac{1}{\cos^2 t}=\operatorname{sec}^2 t.
Portanto
v'(t)=\operatorname{sec}^2 t.

Passo 5

Derivada do terceiro fator w(t)=\log_{9} t. Use a mudança de base: \log_{9} t=\dfrac{\ln t}{\ln 9}. Como \ln 9 é constante, temos
w'(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\ln t}{\ln 9}\right)=\frac{1}{\ln 9}\cdot\frac{d}{dt}\ln t=\frac{1}{\ln 9}\cdot\frac{1}{t}=\frac{1}{t\ln 9}.
Também é útil memorizar a fórmula geral \dfrac{d}{dx}\log_a x=\dfrac{1}{x\ln a}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto de três fatores:
\begin{aligned} f'(t)&=u' v w + u v' w + u v w'\\[4pt] &=1\cdot \tan t\cdot \log_{9} t \;+\; t\cdot \operatorname{sec}^2 t\cdot \log_{9} t \;+\; t\cdot \tan t\cdot \frac{1}{t\ln 9}. \end{aligned}
Simplificando a terceira parcela (o t cancela):
f'(t)=\tan t\;\log_{9} t \;+\; t\operatorname{sec}^2 t\;\log_{9} t \;+\; \frac{\tan t}{\ln 9}.]

Passo 7

Podemos organizar um pouco a expressão fatorando \log_{9} t nas duas primeiras parcelas:
f'(t)=\log_{9} t\big(\tan t + t\operatorname{sec}^2 t\big) + \frac{\tan t}{\ln 9}.
Ou, se preferir escrever tudo em termos de logaritmo natural,
f'(t)=\frac{\ln t}{\ln 9}\big(\tan t + t\operatorname{sec}^2 t\big) + \frac{\tan t}{\ln 9}.
Escolha a forma que achar mais clara na prova.

Resposta

f'(x)=\tan x\;\log_{9} x + x\operatorname{sec}^2 x\;\log_{9} x + \frac{\tan x}{\ln 9}

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