Calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
. Informações importantes que temos:
- A função é produto de três fatores:
, e . - Não há valores numéricos a substituir — queremos a expressão simbólica da derivada.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto generalizada para três fatores. Se
,
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui podemos identificar
,
e
. A ideia é derivar cada fator mantendo os outros dois intactos e somar as três parcelas. Isso é prático e rápido na prova.
Passo 3
Derivada do primeiro fator
:
porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Derivada do segundo fator
. Vamos lembrar uma forma simples de ver isso:
. Derivando usando a regra do quociente:
Portanto
Passo 5
Derivada do terceiro fator
. Use a mudança de base:
. Como
é constante, temos
Também é útil memorizar a fórmula geral
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto de três fatores:
Simplificando a terceira parcela (o
cancela):
Passo 7
Podemos organizar um pouco a expressão fatorando
nas duas primeiras parcelas:
Ou, se preferir escrever tudo em termos de logaritmo natural,
Escolha a forma que achar mais clara na prova.