Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equaçãc diferencial dada sem resolver a equação.
29 . \mathrm{t}^{2} \mathrm{y}^{\prime \prime}-\mathrm{t}(\mathrm{t}+2) \mathrm{y}^{\prime}+(\mathrm{t}+2) \mathrm{y}=0

Passo 1

O enunciado pede o wronskiano de duas soluções de
t^{2}y'' - t(t+2)y' + (t+2)y = 0
sem resolver a equação.
Aqui o conteúdo é a aplicação do Teorema de Abel (ou fórmula de Abel) para um ODE linear de segunda ordem, que nos diz que o wronskiano satisfaz uma equação diferencial simples ligada ao coeficiente de y'.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = 0.
Para isso dividimos tudo por t^{2}, obtendo
y'' - \frac{t+2}{t}\,y' + \frac{t+2}{t^{2}}\,y = 0.
Logo
p(t) = -\frac{t+2}{t}.

Passo 3

Pela fórmula de Abel, o wronskiano W(t) das duas soluções satisfaz
\frac{W'(t)}{W(t)} = -\,p(t).
Logo
\frac{W'}{W} = -\Bigl(-\frac{t+2}{t}\Bigr) = \frac{t+2}{t} = 1 + \frac{2}{t}.

Passo 4

Integramos para encontrar \ln W:
\ln W = \int\Bigl(1 + \frac{2}{t}\Bigr)\,dt = t + 2\ln\lvert t\rvert + C_{1}.
Exponenciando,
W(t) = e^{C_{1}}\,e^{t}\,e^{2\ln\lvert t\rvert} = C\,t^{2}e^{t},
onde C=e^{C_{1}} é constante.

Resposta

W(t) = C\,t^{2}e^{t},
isto é, o wronskiano de duas soluções quaisquer vale, à constante multiplicativa, t^{2}e^{t}.

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