Uma reta passa pelos pontos e . Achar os pontos de sua interseçăo com os planos de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma reta que passa por dois pontos no espaço tridimensional, chamados de e . Nosso objetivo é encontrar onde essa reta corta os três planos de coordenadas: o plano xy, o plano yz e o plano xz. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente equações paramétricas de retas e interseção com planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos e . Para isso, calculamos o vetor diretor da reta, que é dado pela diferença das coordenadas dos dois pontos.
O vetor diretor é:
Passo 3
Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Usamos um parâmetro [t) que nos permite expressar as coordenadas , e de qualquer ponto na reta:
Note que o valor de , já que ambas as coordenadas nos pontos dados são iguais.
Passo 4
Vamos começar encontrando a interseção da reta com o plano xy, onde z = 0 .
Substituímos z = 0 na equação paramétrica de z :
0 = x1 + t(x2 - x1)
Resolvendo para t :
t = -x1x2 - x1
Agora, substituímos esse valor de t nas equações de x e y :
x = x1 + (-x1x2 - x1)(x2 - x1) = x1 - x1 = 0
y = y1 + (-x1x2 - x1)(y2 - y1)
Então, o ponto de interseção com o plano xy é (0, y, 0) , onde y foi calculado acima.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a interseção com o plano yz, onde x = 0 .
Substituímos x = 0 na equação paramétrica de x :
0 = x1 + t(x2 - x1)
Isso nos dá o mesmo valor de t :
t = -x1x2 - x1
Substituímos esse t nas equações de y e z :
y = y1 + (-x1x2 - x1)(y2 - y1)
z = x1 + (-x1x2 - x1)(x2 - x1) = x1 - x1 = 0
Então, o ponto de interseção com o plano yz é (0, y, 0) , semelhante ao anterior.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a interseção com o plano xz, onde y = 0 .
Substituímos y = 0 na equação paramétrica de y :
0 = y1 + t(y2 - y1)
Resolvendo para t :
t = -y1y2 - y1
Agora, substituímos esse valor de t nas equações de x e z :
x = x1 + (-y1y2 - y1)(x2 - x1)
z = x1 + (-y1y2 - y1)(x2 - x1)
Então, o ponto de interseção com o plano xz é (x, 0, z) , onde x e z foram calculados acima.
Resposta
Os pontos de interseção da reta com os planos de coordenadas são: