Uma reta passa pelos pontos A1=(x1, y1, x1) e A2=(x2, y2, x2). Achar os pontos de sua interseçăo com os planos de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma reta que passa por dois pontos no espaço tridimensional, chamados de A1 = (x1, y1, x1) e A2 = (x2, y2, x2) . Nosso objetivo é encontrar onde essa reta corta os três planos de coordenadas: o plano xy, o plano yz e o plano xz. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente equações paramétricas de retas e interseção com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A1 e A2 . Para isso, calculamos o vetor diretor da reta, que é dado pela diferença das coordenadas dos dois pontos.
O vetor diretor d é:
d = A2 - A1 = (x2 - x1, y2 - y1, x2 - x1)

Passo 3

Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Usamos um parâmetro [t) que nos permite expressar as coordenadas , e de qualquer ponto na reta:
Note que o valor de , já que ambas as coordenadas nos pontos dados são iguais.

Passo 4

Vamos começar encontrando a interseção da reta com o plano xy, onde z = 0 .
Substituímos z = 0 na equação paramétrica de z :
0 = x1 + t(x2 - x1)
Resolvendo para t :
t = -x1x2 - x1
Agora, substituímos esse valor de t nas equações de x e y :
x = x1 + (-x1x2 - x1)(x2 - x1) = x1 - x1 = 0
y = y1 + (-x1x2 - x1)(y2 - y1)
Então, o ponto de interseção com o plano xy é (0, y, 0) , onde y foi calculado acima.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a interseção com o plano yz, onde x = 0 .
Substituímos x = 0 na equação paramétrica de x :
0 = x1 + t(x2 - x1)
Isso nos dá o mesmo valor de t :
t = -x1x2 - x1
Substituímos esse t nas equações de y e z :
y = y1 + (-x1x2 - x1)(y2 - y1)
z = x1 + (-x1x2 - x1)(x2 - x1) = x1 - x1 = 0
Então, o ponto de interseção com o plano yz é (0, y, 0) , semelhante ao anterior.

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a interseção com o plano xz, onde y = 0 .
Substituímos y = 0 na equação paramétrica de y :
0 = y1 + t(y2 - y1)
Resolvendo para t :
t = -y1y2 - y1
Agora, substituímos esse valor de t nas equações de x e z :
x = x1 + (-y1y2 - y1)(x2 - x1)
z = x1 + (-y1y2 - y1)(x2 - x1)
Então, o ponto de interseção com o plano xz é (x, 0, z) , onde x e z foram calculados acima.

Resposta

Os pontos de interseção da reta com os planos de coordenadas são:
  • Plano xy: (0, y1 - x1(y2 - y1)x2 - x1, 0)
  • Plano yz: (0, y1 - x1(y2 - y1)x2 - x1, 0)
  • Plano xz: (x1 - y1(x2 - x1)y2 - y1, 0, x1 - y1(x2 - x1)y2 - y1)

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