Ex. 6. Achar os pontos de descontinuidade das funções:
f(x, y)=ln raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede os pontos de descontinuidade da função
f(x,y)=lnraizx^2+y^2
O conteúdo aqui é domínio e continuidade de funções de duas variáveis, usando que a composição de funções contínuas permanece contínua em seu domínio.

Passo 2

Para existir f(x,y), é preciso que o argumento do logaritmo seja positivo:
raizx^2+y^2>0
Como raizx^2+y^2>=0 sempre, a condição vira
x^2+y^2>0Long<=ftrightarrow(x,y)neq(0,0)
Logo o domínio de f é
D = (x,y)inR^2mid(x,y)neq(0,0) = R^2setminus(0,0)

Passo 3

Sabemos que a função g(t)=raizt é contínua para t>0 e que h(u)=ln u é contínua para u>0. A composição
f(x,y)=hl(g(x^2+y^2)r)
é, portanto, contínua em todo ponto de D.

Passo 4

Como f é contínua em todo ponto de seu domínio e não está definida em (0,0), o único ponto em que f falha em ser contínua é (0,0).

Resposta

O único ponto de descontinuidade de f é (0,0).

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