Calcule:
lim x 1 raizx-1raiz[3]x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto1raizx-1raiz[3]x^2-1
Percebemos que ao substituir x=1 tanto o numerador quanto o denominador viram zero, ou seja, temos uma indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que nessa situação
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x),
desde que f e g sejam diferenciáveis em torno de a e g'(x)neq0 próximo de a.

Passo 2

Confirmando a indeterminação, substituímos x=1 em cada parte:
raiz1-1=0 e raiz[3]1^2-1=0. Portanto, tfrac00 justifica o uso de L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
Para f(x)=raizx-1,
f'(x)=12raizx
Para g(x)=raiz[3]x^2-1 = x^2/3-1,
g'(x)=23,x^-1/3
Aplicando L’Hôpital, o limite vira
limxto1f'(x)g'(x) =limxto112raizx23x^-1/3

Passo 4

Simplificamos a expressão interna:
12raizx23x^-1/3 =12x^1/2cdot32x^1/3 =34,x^-1/2+1/3 =34,x^-1/6

Passo 5

Por fim, avaliamos em x=1:
limxto134,x^-1/6 =34cdot1^-1/6 =34

Resposta

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