Calcule os limites a seguir:
L=lim x -3(9-x^22 x+6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite quando x se aproxima de -3 para a função:
L = limx -3 (9 - x^22x + 6)
Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e talvez fatorar algumas partes dela.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = -3 diretamente na expressão para ver o que acontece:
9 - (-3)^22(-3) + 6 = 9 - 9-6 + 6 = 00
Quando substituímos, acabamos com 00 , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador para ver se podemos simplificar:
  • Numerador: 9 - x^2 pode ser reescrito como uma diferença de quadrados.
  • Denominador: 2x + 6 pode ser fatorado.
Vamos fatorar o numerador:
9 - x^2 = (3)^2 - x^2 = (3 - x)(3 + x)
Agora, o denominador:
2x + 6 = 2(x + 3)

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
9 - x^22x + 6 = (3 - x)(3 + x)2(x + 3)
Agora, podemos observar que (3 + x) é o mesmo que (x + 3) , então podemos simplificar:
(3 - x)(x + 3)2(x + 3) = 3 - x2
Aqui, cancelamos o (x + 3) no numerador e no denominador.

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para 3 - x2 , podemos calcular o limite substituindo x por -3:
limx -3 3 - x2 = 3 - (-3)2 = 62 = 3

Resposta

O limite L é igual a 3.

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