Calcule:
lim x 1 raiz[3]3 x+5-2x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto1raiz[3]3x+5-2x^2-1
Aqui temos uma indeterminação do tipo tfrac00. O conteúdo envolvido é limite de função com raiz de índice 3 e vamos usar a técnica de racionalização baseada na fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Tentando a substituição direta x=1 no numerador e no denominador:
raiz[3]3cdot1+5-2=raiz[3]8-2=2-2=0
e
1^2-1=0.
Logo o limite é tfrac00, uma forma indeterminada, então precisamos eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Para racionalizar, note que se definirmos
a = raiz[3]3x+5,
temos numerador a-2. Usamos a identidade
(a-2)l(a^2+2a+4r)=a^3-2^3
Então multiplicamos numerador e denominador por a^2+2a+4:
a-2x^2-1;times;a^2+2a+4a^2+2a+4 =(a-2)(a^2+2a+4)(x^2-1)(a^2+2a+4)

Passo 4

Pelo lado do numerador,
(a-2)(a^2+2a+4)=a^3-8
Mas a^3=(raiz[3]3x+5)^3=3x+5. Então
a^3-8=(3x+5)-8=3x-3=3(x-1)
O denominador x^2-1 fatora em (x-1)(x+1). Assim a expressão fica
3(x-1)(x-1)(x+1),l(a^2+2a+4r)

Passo 5

Cancelamos o fator (x-1) e fazemos xto1. Ao final,
al|x=1=raiz[3]3cdot1+5=2 Longrightarrow a^2+2a+4=2^2+2cdot2+4=12
O denominador vira (1+1)cdot12=2cdot12=24. Logo
limxto1raiz[3]3x+5-2x^2-1 =324=18

Resposta

18

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