Achar os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = \ln\sqrt{x^{2}+y^{2}},
e pede para encontrar os pontos de descontinuidade. O conteúdo aqui é determinar o domínio de uma função envolvendo logaritmo e, em seguida, verificar onde ela deixa de ser contínua.

Passo 2

Para que a função esteja definida, o argumento do logaritmo precisa ser estritamente positivo. Logo, é necessário que \sqrt{x^{2}+y^{2}}>0.
Como a raiz quadrada é não negativa, essa condição equivale a
x^{2}+y^{2}>0,
ou seja, (x,y)\neq(0,0). Portanto o domínio é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>0\bigr\}.

Passo 3

Dentro de D, escrevendo \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r>0 e usando
z=\ln r,
vemos que é composição de funções contínuas (soma, raiz quadrada e logaritmo) em pontos onde o argumento do logaritmo é positivo. Logo, z é contínua em todo ponto de D.

Passo 4

O único ponto fora do domínio é (0,0), onde x^{2}+y^{2}=0 faz com que o logaritmo fique indeterminado. Não há outra descontinuidade, pois em todos os demais pontos a função é contínua.

Resposta

A função é descontínua somente em (0,0).

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