Resolva a equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{-x}{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y}.
O conteúdo aqui é equações separáveis, e vamos precisar isolar y de um lado e x do outro para depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação e separando variáveis, multiplicamos ambos os lados por y,dx:
y \, dy = -\,x \, dx.

Passo 3

Agora integramos os dois membros:
\int y \, dy = - \int x \, dx.

Passo 4

Calculando as integrais, obtemos
\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e agrupando os termos, chega-se à forma implícita da solução geral:
y^2 + x^2 = C',
sendo C' = 2C uma constante arbitrária.

Passo 6

Se quisermos a forma explícita, isolamos y:
y(x) = \pm\sqrt{C' - x^2}.

Resposta

A solução geral é
y^2 + x^2 = C',
ou equivalentemente
y(x) = \pm\sqrt{C' - x^2},
com C' constante.

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