Nos exercícios 30 e 31 verifique a fórmula de Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superficie \delta tenha orientação para cima.
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}, \delta é a porção do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} abaixo do plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo \vec{F}(x,y,z)=x^2\,\vec{i}+y^2\,\vec{j}+z^2\,\vec{k}
na superfície \delta que é a porção do cone z=\sqrt{x^2+y^2} abaixo do plano z=1.
Precisamos calcular:
  1. A integral de superfície \iint_{\delta}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
  2. A integral de linha \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde C=\partial\delta é a curva de interseção do cone com z=1.
    Usaremos o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{\delta}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
com orientação de \delta apontando para cima (logo C é orientada no sentido anti‐horário vista de cima).

Passo 2

Calcular o rotacional de \vec{F}:
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ x^2&y^2&z^2 \end{vmatrix} =\bigl(\partial_y z^2-\partial_z y^2\bigr)\vec{i} +\bigl(\partial_z x^2-\partial_x z^2\bigr)\vec{j} +\bigl(\partial_x y^2-\partial_y x^2\bigr)\vec{k}.
Como todas as derivadas mistas são zero, obtemos
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Passo 3

Como \nabla\times\vec{F}=\vec{0}, a integral de superfície é
\iint_{\delta}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{\delta}0\,dS=0.

Passo 4

Agora descrevemos a curva C=\partial\delta. É o círculo de interseção do cone com z=1, ou seja
x^2+y^2=1,\quad z=1.
Para orientação compatível com normal para cima, parametrizamos
\vec{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;1\bigr),\quad 0\le t\le2\pi,
de modo que a projeção no plano xy gira anti‐horário.

Passo 5

Calculamos \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}. Temos
\vec{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;0),
e
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) =\bigl(\cos^2 t,\;\sin^2 t,\;1\bigr).
Logo
\vec{F}\cdot\vec{r}' =(\cos^2 t)(-\sin t)+(\sin^2 t)(\cos t)+1\cdot0 =-\cos^2 t\,\sin t+\sin^2 t\,\cos t.
Observe que
-\cos^2 t\,\sin t+\sin^2 t\,\cos t =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac13\sin^3 t+\tfrac13\cos^3 t\Bigr).
Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi} \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac13\sin^3 t+\tfrac13\cos^3 t\Bigr)\,dt =\Bigl[\tfrac13\sin^3 t+\tfrac13\cos^3 t\Bigr]_{0}^{2\pi} =0.

Resposta

Ambas as integrais são iguais a zero, confirmando o Teorema de Stokes.

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