Resolva a equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.
Percebemos que é um caso de equação de variáveis separáveis: podemos isolar y e dy de um lado e x e dx do outro para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{1}{y}\,dy = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x}\,dx
Isso leva a
\ln|y| = \ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponencie para eliminar o logaritmo:
|y| = e^{\ln|x| + C} = e^{C}\,|x| = K\,|x|,
com K=e^{C}>0. Como K pode assumir sinal arbitrário ao redefinirmos a constante, escrevemos a solução geral sem valor absoluto:
y = C_1\,x,
onde C_1 é constante real arbitrária.

Resposta

y = Cx, onde C é constante real.

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