Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^1 integralarctan y^pi / 4 f(x, y) dy dx

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^1integralarctan y^pi/4f(x,y),dx,dy
e pede para esboçar a região de integração no plano xy e depois trocar a ordem de integração. Aqui o conteúdo é descrição de regiões definidas por inequações e trocas de ordem em integrais duplas.

Passo 2

Interpretamos as desigualdades que definem a região R:
0 <= y <= 1, arctan y <= x <= pi4
Isto significa que, no plano xy, traçamos a curva x=arctan y (de y=0 até y=1), a reta vertical x=tfracpi4 e as retas horizontais y=0 e y=1. A região R fica entre a curva e a reta, limitada acima por y=1 e abaixo por y=0.

Passo 3

Para inverter a ordem integramos primeiro em y. Precisamos encontrar, para cada x, os valores mínimos e máximos de y em R. Da condição arctan y <= x tiramos
y <= tan x
Como também 0<= y<=1 e tan x<=1 só até x=pi/4, obtemos
0 <= y <= tan x, 0 <= x <= pi4

Passo 4

Com esses limites invertidos, escrevemos a integral mudando a ordem de dx,dy para dy,dx. Primeiro y varia de 0 a tan x, depois x de 0 a pi/4. Assim a integral fica
integral0^pi/4integral0^tan xf(x,y),dy,dx

Resposta

integral0^pi/4integral0^tan xf(x,y),dy,dx

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