Esboce a região de integração e calcule a integral:
integralpi^2 pi integral0^pi(sen x+cos y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração de
integralpi^2piintegral0^pi(sin x+cos y),dx,dy
e, em seguida, calcular esse valor. Vamos usar que a região é um retângulo no plano xy e aproveitar que sin x depende só de x e cos y só de y, permitindo separar a integral.

Passo 2

A região de integração R é
0<= x<= pi, pi<= y<= 2pi
No plano xy, isso é um retângulo com vértices em (0,pi), (pi,pi), (pi,2pi) e (0,2pi).

Passo 3

Integramos primeiro em x, tratando cos y como constante:
integral0^pi(sin x+cos y),dx =integral0^pisin x,dx+integral0^picos y,dx =[-cos x]0^pi+cos y,[x]0^pi =2+picos y

Passo 4

Agora integramos o resultado em y:
integralpi^2pil(2+picos yr),dy =2[y]pi^2pi+pi[sin y]pi^2pi =2(2pi-pi)+pi(0-0) =2pi

Resposta

2pi

Exercícios relacionados