Achar os pontos da hipérbole x^2-y^2=1 mais próximos de (0,1).

Passo 1

Nesse exercício a gente quer achar os pontos da hipérbole x^2 - y^2 = 1 que estão mais próximos do ponto (0,1). O conteúdo aqui é otimização com restrição e vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para facilitar, a gente minimiza a distância ao quadrado entre um ponto (x,y) da hipérbole e (0,1). Definimos a função alvo e a restrição assim:
f(x,y) = (x-0)^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y-1)^2,
g(x,y) = x^2 - y^2 - 1 = 0

Passo 3

Montamos as equações de Lagrange exigindo nabla f = lambda,nabla g. Calculamos os gradientes:
nabla f(x,y) = (2x,;2(y-1)),
nabla g(x,y) = (2x,;-2y)
Assim:
2x = 2lambda x,
2(y-1) = -2lambda y

Passo 4

Da primeira equação temos ou x=0 ou lambda=1. Se x=0, a restrição vira -y^2=1, sem solução real. Logo, lambda=1. Substituindo na segunda equação:
y - 1 = -lambda y implies y - 1 = -y implies 2y = 1 implies y = tfrac12
Pela restrição:
x^2 - l(tfrac12r)^2 = 1 implies x^2 = 1 + tfrac14 = tfrac54 implies x = pm tfracraiz52

Passo 5

Concluímos que os pontos da hipérbole mais próximos de (0,1) são
l(tfracraiz52,,tfrac12r)el(-tfracraiz52,,tfrac12r)

Resposta

l(pm tfracraiz52,,tfrac12r)

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