Achar os pontos da hipérbole
mais próximos de
.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer achar os pontos da hipérbole
que estão mais próximos do ponto
. O conteúdo aqui é otimização com restrição e vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Para facilitar, a gente minimiza a distância ao quadrado entre um ponto
da hipérbole e
. Definimos a função alvo e a restrição assim:
Passo 3
Montamos as equações de Lagrange exigindo
. Calculamos os gradientes:
Assim:
Passo 4
Da primeira equação temos ou
ou
. Se
, a restrição vira
, sem solução real. Logo,
. Substituindo na segunda equação:
Pela restrição:
Passo 5
Concluímos que os pontos da hipérbole mais próximos de
são