Considere a função real definida por:
& f(x)=xraiz1+x-raiz1-x, x neq 0 & f(x)=k, x=0
Para qual valor de k a função é contínua? ( k=1 )

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfracxraiz1+x-raiz1-x,&xneq0, k,&x=0,
e queremos achar para qual valor de k a função é contínua em x=0. Isso exige calcular limxto0f(x) e igualar a k.

Passo 2

Para encontrar limxto0f(x), racionalizamos o denominador de f(x) quando xneq0. Multiplicamos numerador e denominador por
raiz1+x+raiz1-x
obtendo
f(x)=xl(raiz1+x+raiz1-xr)(raiz1+x-raiz1-x)(raiz1+x+raiz1-x)
No denominador aparece
(raiz1+x)^2-(raiz1-x)^2=(1+x)-(1-x)=2x,
então
f(x)=xl(raiz1+x+raiz1-xr)2x= racraiz1+x+raiz1-x2, xneq0

Passo 3

Agora calculamos o limite quando xto0:
limxto0f(x)=limxto0raiz1+x+raiz1-x2=raiz1+0+raiz1-02=1+12=1

Passo 4

Para que f seja contínua em x=0, precisamos de
limxto0f(x)=f(0)=k
Como o limite vale 1, concluímos que k=1.

Resposta

1

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