Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Para toda f, a integral integral duplaR f(x, y) d A é igual ao volume do sólido limitado entre o plano x, y e o gráfico de f na região R.

Passo 1

O enunciado afirma que para qualquer função f, integral duplaR f(x,y),dA coincide com o volume do sólido entre o plano xy e o gráfico de f sobre a região R. O conteúdo aqui é a interpretação geométrica da integral dupla em termos de volume.

Passo 2

Para interpretar integral duplaR f(x,y),dA como volume, precisamos que f seja não-negativa em R. Se f assume valores negativos, a integral computa “volume” abaixo do plano xy com sinal negativo, enquanto o volume físico é sempre não-negativo.

Passo 3

Vamos dar um contra-exemplo simples. Seja R=[0,1]times[0,1] e defina f(x,y)=-1 para todo (x,y)in R. Então
integral duplaR f(x,y),dA=integral duplaR (-1),dA=-1cdotArea(R)=-1cdot1=-1

Passo 4

Isso mostra que a integral é -1, enquanto o volume geométrico da região entre o plano xy e o gráfico de f (que fica abaixo do plano) seria 1 em valor absoluto. Logo, não há igualdade para toda f, só vale quando f(x,y)>=0.

Resposta

Falsa. Por exemplo, com f(x,y)=-1 em R=[0,1]×[0,1], temos integral -1 mas o volume é +1.

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