Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Para toda
, a integral
é igual ao volume do sólido limitado entre o plano
e o gráfico de
na região
.
Para toda
Passo 1
O enunciado afirma que para qualquer função f,
coincide com o volume do sólido entre o plano xy e o gráfico de f sobre a região R. O conteúdo aqui é a interpretação geométrica da integral dupla em termos de volume.
Passo 2
Para interpretar
como volume, precisamos que f seja não-negativa em R. Se f assume valores negativos, a integral computa “volume” abaixo do plano xy com sinal negativo, enquanto o volume físico é sempre não-negativo.
Passo 3
Vamos dar um contra-exemplo simples. Seja
e defina
para todo
. Então
Passo 4
Isso mostra que a integral é -1, enquanto o volume geométrico da região entre o plano xy e o gráfico de f (que fica abaixo do plano) seria 1 em valor absoluto. Logo, não há igualdade para toda f, só vale quando
.
Resposta
Falsa. Por exemplo, com f(x,y)=-1 em R=[0,1]×[0,1], temos integral -1 mas o volume é +1.