Se F(x, y, z) mostre que f(x, y, z) é conservativo e ache seu potencial escalar .
[
\left(f(x, y, z)=y e^{3 z}+x y^{2}+C\right)

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z)=y^2, i+(2xy+e^3z), j+3y e^3z, k. O conteúdo aqui é campos conservativos: vamos mostrar que nablatimes F=0 e, em seguida, construir o potencial escalar f(x,y,z) tal que nabla f= F.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo, calculamos o rotacional pelo critério
(nabla times F)x=partialpartial y(3y e^3z)-partialpartial z(2xy+e^3z),
(nabla times F)y=partialpartial z(y^2)-partialpartial x(3y e^3z),
(nabla times F)z=partialpartial x(2xy+e^3z)-partialpartial y(y^2)
Calculando cada um: todos dão zero, então nablatimes F=0 e o campo é conservativo.

Passo 3

Como F=nabla f, temos
partial fpartial x=y^2
Integrando em relação a x, vem
f(x,y,z)=x y^2+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos a componente j:
partial fpartial y=2xy+partial gpartial y
que deve ser igual a 2xy+e^3z. Logo
partial gpartial y=e^3z
Integramos em y e obtemos
g(y,z)=y e^3z+h(z),
com h(z) a determinar.

Passo 5

Por fim, igualamos a componente k:
partial fpartial z=partialpartial z(x y^2+y e^3z+h(z))=3y e^3z+h'(z)
que deve ser 3y e^3z. Daí h'(z)=0 e h(z)=C, constante.

Passo 6

Assim o potencial escalar é
f(x,y,z)=x y^2+y e^3z+C

Resposta

f(x,y,z)=x y^2+y e^3z+C

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