Se
mostre que
é conservativo e ache seu potencial escalar
.
[
\left(f(x, y, z)=y e^{3 z}+x y^{2}+C\right)
\left(f(x, y, z)=y e^{3 z}+x y^{2}+C\right)
Passo 1
Temos o campo vetorial
. O conteúdo aqui é campos conservativos: vamos mostrar que
e, em seguida, construir o potencial escalar
tal que
.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, calculamos o rotacional pelo critério
Calculando cada um: todos dão zero, então
e o campo é conservativo.
Passo 3
Como
, temos
Integrando em relação a
, vem
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora usamos a componente
:
que deve ser igual a
. Logo
Integramos em
e obtemos
com
a determinar.
Passo 5
Por fim, igualamos a componente
:
que deve ser
. Daí
e
, constante.
Passo 6
Assim o potencial escalar é