Nos exercícios 22 a 29 , calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
29. lx=2 cos t+2 t sen t y=2 sen t-2 t cos t

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica x=2cos t+2tsin t e y=2sin t-2tcos t para 0<= t<= pi2. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos usar a fórmula abaixo para calcular o comprimento de arco entre t=a e t=b:

Passo 2

L=integrala^braiz(dxdt)^2+(dydt)^2,dt
Também precisamos computar as derivadas x' e y' em relação a t.

Passo 3

Para x=2cos t+2tsin t aplicamos a regra do produto em 2tsin t e obtemos:
x'=ddt(2cos t)+ddt(2tsin t)=-2sin t+(2sin t+2tcos t)=2tcos t
Para y=2sin t-2tcos t temos:
y'=ddt(2sin t)-ddt(2tcos t)=2cos t-(2cos t-2tsin t)=2tsin t

Passo 4

O integrando fica
raiz(x')^2+(y')^2=raiz(2tcos t)^2+(2tsin t)^2=raiz4t^2(cos^2t+sin^2t)=2t
como t>=0 no intervalo. Aplicando na fórmula:

Passo 5

Calculando a integral de 2t de 0 a pi2 temos:
L=integral0^pi22t,dt=l[t^2r]0^pi2=(pi2)^2=pi^24

Resposta

pi^24

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